∨ E∨ E\lor~E in natürlicher Deduktion verstehen?

Question

∨ E∨ E\lor~E in natürlicher Deduktion verstehen?

Logik
Mathematik
formale Beweise
natürlicher Abzug
Aussagenkalkül

Aristu

Ich lese Frank Pfennings Lecture Notes on Natural Deduktion . Es ist vernünftig, dass das Folgende $\lor$ -Eliminationsregel ist falsch, da wir jeden Satz haben können $\alpha$ ein einziges Theorem gegeben $\beta$ .

\begin{matrix} a \lor β \\ a \end{matrix}

$\begin{array}{c} \alpha \lor \beta\\ \hline\hline \alpha \end{array}$

Die reale $\lor$ -Eliminierungsregel ist gegeben durch:

\begin{matrix} a \lor β [a] \dots ψ [β] \dots ψ \\ ψ \end{matrix}

$\begin{array}{c} \alpha \lor \beta \quad [\alpha] \cdots \psi \quad [\beta] \cdots \psi \\ \hline\hline \psi \end{array}$

woher $[\alpha]$ , $[\beta]$ wird als Annahme von beiden bezeichnet $\alpha$ Und $\beta$ . Doch was hindert jemanden daran, so etwas zu tun?

\begin{matrix} a \lor β [a] \dots a [β] \dots a \\ a \end{matrix}

$\begin{array}{c} \alpha \lor \beta \quad [\alpha] \cdots \alpha \quad [\beta] \cdots \alpha \\ \hline\hline \alpha \end{array}$

Was wie der vorherige Fehler aussieht (dh ich möchte irgendwelche ableiten $\alpha$ von einem $\beta$ ), aber das ist eine gültige Schlussfolgerung. Wie unterscheidet sich diese von der falschen?

Taroccoesbrocco

@MauroALLEGRANZA - Ich denke, die Frage betrifft die dritte Regel im OP. Er glaubt, dass es nicht gültig ist, aber tatsächlich ist es gültig.

Taroccoesbrocco

@MauroALLEGRANZA - Genau! Das habe ich in meiner Antwort geschrieben.

Aristu

Ich habe die Frage bearbeitet, um klarer zu sein.

DanielV

Die or-Eliminationsregel ist nur ein Fallbeweis. Es könnte dir klarer werden, wenn du es so schreibst

\frac{{Fall}_{1} \lor {Fall}_{2} {Fall}_{1} \to X {Fall}_{2} \to X}{X}

$\dfrac{\text{Case}_1 \lor \text{Case}_2 \quad \text{Case}_1 \to X \quad \text{Case}_2 \to X}{X}$

Antworten (1)

∨ E∨ E\lor~E in natürlicher Deduktion verstehen?

@MauroALLEGRANZA - Ich denke, die Frage betrifft die dritte Regel im OP. Er glaubt, dass es nicht gültig ist, aber tatsächlich ist es gültig.
@MauroALLEGRANZA - Genau! Das habe ich in meiner Antwort geschrieben.
Die or-Eliminationsregel ist nur ein Fallbeweis. Es könnte dir klarer werden, wenn du es so schreibst $\frac{{Fall}_{1} \lor {Fall}_{2} {Fall}_{1} \to X {Fall}_{2} \to X}{X}$ $\dfrac{\text{Case}_1 \lor \text{Case}_2 \quad \text{Case}_1 \to X \quad \text{Case}_2 \to X}{X}$

Taroccoesbrocco · Answer 1

Die Ausschlussregel für $\lor$

\begin{aligned} \frac{a \lor β [a] \dots ψ [β] \dots ψ}{ψ} \lor_{e} \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\alpha \lor \beta \qquad [\alpha]\cdots\psi \qquad [\beta]\cdots\psi}{\psi}\lor_e \end{align}$

gilt für jede Formel $\psi$ , insbesondere für $\psi = \alpha$ .

Der Fall $\psi = \alpha$ für $\lor_e$ entspricht nicht der Regel

\begin{aligned} \frac{a \lor β}{a} (*) \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\alpha \lor \beta}{\alpha} (*) \end{align}$

was ungesund ist, weil in $(*)$ eine wichtige Hypothese (vorhanden in der Regel $\lor_e$ mit $\psi = \alpha$ ) fehlt: das $\alpha$ ist aus der weiteren Annahme ableitbar $\beta$ . Mit anderen Worten, die Regel $\lor_e$ im Falle $\psi = \alpha$ kann umgeschrieben werden als (seit $\alpha$ ist trivial aus der weiteren Annahme ableitbar $\alpha$ )

\begin{aligned} \frac{a \lor β [β] \dots a}{a} \end{aligned}

$\begin{align} \dfrac{\alpha \lor \beta \qquad [\beta]\cdots\alpha}{\alpha} \end{align}$

was in der Tat in natürlicher Deduktion perfekt ableitbar ist.

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Aristu

Taroccoesbrocco

Taroccoesbrocco

Aristu

DanielV

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Taroccoesbrocco

Aristu

Taroccoesbrocco

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