Natürlicher Abzug - RAA verwenden

Question

Natürlicher Abzug - RAA verwenden

Logik
Mathematik
natürlicher Abzug
Aussagenkalkül

Benutzer231999

Geben Sie Beweise für natürliche Deduktion, die jeden der folgenden Punkte zeigen:

A) $\phi\vdash\top$ für jede Formel $\phi$ .

B) $(P_1\to P_2)\vdash (\lnot P_2\to\lnot P_1)$ .

C) $(\lnot P_2\to\lnot P_1)\vdash (P_1\to P_2)$ (Hinweis: Dies erfordert eine reductio ad absurdum).

Ich habe sowohl a) als auch b) gelöst, aber nicht c). Ich verstehe RAA nicht wirklich mehr, als dass es ein Beweis durch Widerspruch ist. Und ich verstehe nicht, wann ich es verwenden soll oder wo ich es verwenden soll. Ist RAA immer der letzte Schritt in Ihrem Beweisbaum oder können Sie ihn in einem früheren Stadium verwenden? In meinem Fall möchte ich davon ausgehen $\lnot(\lnot P_2\to\lnot P_1)$ und versuchen, dieser Tatsache zu widersprechen, indem Sie sich etwas Unsinn ausdenken, das nicht wahr sein kann?

Hier mein Versuch das Problem zu lösen:

\frac{\frac{\frac{\neg (\neg P_{2} \to \neg P_{1}) \to \neg P_{2} \to \neg P_{1} [\neg (\neg P_{2} \to \neg P_{1})]}{\neg P_{2} \to \neg P_{1}} \to ICH \neg P_{2}}{\neg P_{1}} \to ICH [P_{1}]^{1}}{\frac{⊥}{P_{1} \to P_{2}} R A A} \to ICH .

$\frac{\frac{\frac{\lnot(\lnot P_2\to\lnot P_1)\to\lnot P_2\to\lnot P_1\quad \quad[\lnot(\lnot P_2\to\lnot P_1)]}{\lnot P_2\to\lnot P_1}\to I \quad \quad \lnot P_2}{\lnot P_1}\to I\quad \quad [P_1]^1}{\frac{\bot}{P_1\to P_2}RAA}\to I.$

Also arbeitete ich mich von unten nach oben vor, als ich den Beweisbaum konstruierte. Ich denke, die beiden letzten Schritte (unten im Baum) sind für mich logisch. Ich „glaube“, ich glaube wirklich an diese beiden Schritte. Aber dann werde ich unsicher und bin mir nicht mehr ganz bewusst, was ich tue. Hoffe jemand kann mir helfen. Danke! :)

Mauro ALLEGRANZA

Sie haben RAA falsch angewendet ... abgeleitet

⊥

$\bot$ , müssen Sie von RAA entladen werden

\neg P_{2}

$\lnot P_2$ Ableitung

P_{2}

$P_2$ und dann entladen

P_{1}

$P_1$ Ableitung

P_{1} \to P_{2}

$P_1 \to P_2$ . Aber in diesem Fall bleiben Ihnen die beiden Annahmen oben links offen ... Löschen Sie sie und beginnen Sie direkt mit der Prämisse.

Benutzer231999

Ah okay, danke, aber woher weiß ich dann, wann ich RAA anwenden muss? Ist das etwas, das Sie nur "sehen", wenn Sie eine Reihe solcher Probleme gelöst haben?

Mauro ALLEGRANZA

Um RAA anzuwenden , müssen Sie mit a beginnen

\neg \dots

$\lnot \ldots$ Prämisse; in diesem Fall, wenn wir versuchen, von der Negation der Konklusion auszugehen:

\neg (P_{1} \to P_{2})

$\lnot (P_1 \to P_2)$ Wir sind in Schwierigkeiten, weil wir keinen "einfachen Weg" haben, das Äußere zu entfernen

\neg

$\lnot$ : wir brauchen wieder RAA ? Also müssen wir es mit versuchen

\neg P_{2}

$\lnot P_2$ .

Antworten (1)

Natürlicher Abzug - RAA verwenden

Sie haben RAA falsch angewendet ... abgeleitet $\bot$ , müssen Sie von RAA entladen werden $\lnot P_2$ Ableitung $P_2$ und dann entladen $P_1$ Ableitung $P_1 \to P_2$ . Aber in diesem Fall bleiben Ihnen die beiden Annahmen oben links offen ... Löschen Sie sie und beginnen Sie direkt mit der Prämisse.
Ah okay, danke, aber woher weiß ich dann, wann ich RAA anwenden muss? Ist das etwas, das Sie nur "sehen", wenn Sie eine Reihe solcher Probleme gelöst haben?
Um RAA anzuwenden , müssen Sie mit a beginnen $\lnot \ldots$ Prämisse; in diesem Fall, wenn wir versuchen, von der Negation der Konklusion auszugehen: $\lnot (P_1 \to P_2)$ Wir sind in Schwierigkeiten, weil wir keinen "einfachen Weg" haben, das Äußere zu entfernen $\lnot$ : wir brauchen wieder RAA ? Also müssen wir es mit versuchen $\lnot P_2$ .

Mauro ALLEGRANZA · Answer 1

1) $¬P_2 → ¬P_1$ --- Prämisse

2) $¬P_2$ --- angenommen [a]

3) $¬P_1$ --- von 1) und 2) durch $\to$ -elim

4) $P_1$ --- angenommen [b]

5) $\bot$ --- von 4) und 3) durch $\to$ -elim ( $\lnot A$ Ist $A \to \bot$ )

6) $P_2$ --- aus 2) und 5) von RAA , Entladung [a]

7) $P_1 → P_2$ --- ab 4) und 6) durch $\to$ -Einleitung, Entladung [b].

Also aus 1) und 7) :

$(¬P_2 → ¬P_1) \vdash (P_1 → P_2)$ .

Hier das gleiche als Beweisbaum:

\frac{\frac{\neg P_{2} \to \neg P_{1} [\neg P_{2}]^{1}}{\neg P_{1}} \to E [P_{1}]^{2}}{\frac{\frac{⊥}{P_{2}} R A A_{1}}{P_{1} \to P_{2}} \to {ICH}_{2}} \to E

$\frac{\frac{\lnot P_2\to\lnot P_1 \quad \quad [\lnot P_2]^1}{\lnot P_1}\to E\quad \quad [P_1]^2}{\frac {\frac{\bot}{P_2}RAA_1}{P_1 \to P_2}\to I_2}\to E$

Natürlicher Abzug - RAA verwenden

Benutzer231999

Mauro ALLEGRANZA

Benutzer231999

Mauro ALLEGRANZA

Antworten (1)

Mauro ALLEGRANZA

∨ E∨ E\lor~E in natürlicher Deduktion verstehen?

Zeigen Sie die folgenden Sätze durch natürliche Deduktion und das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte

Unterschied zwischen logischen Axiomen und Schlußregeln

Benötigen Sie Hilfe bezüglich eines Beweises in First Order Logic

Maximal konsistente Theorien haben vollständige zählbare Teiltheorien in jeder zählbaren Teilsprache.

Beweisen Sie die Richtigkeit der Aussagenlogik ohne Induktion?

Wie kann man wissen, ob A⟹BA⟹BA \impliziert, dass B (eine Implikation) wahr ist, ohne zu wissen, ob BBB (die Konsequenz) wahr ist?

Unter welchen Bedingungen hat ein axiomatisches Beweissystem ein natürliches Deduktionsäquivalent?

Warum ist „weil“ in der Aussagenlogik keine logische Verknüpfung?

Gültige Form und wahre Prämissen machen ein Argument stichhaltig, aber bedeutet „Prämissen“ P, Q, R, … oder „was den Antezedens umfasst“?