Ein offenes kontinuierliches Bild eines Baire-Raums ist eine Baire-Raum-Beweisfrage

Lassen ( X , T ) Und ( Y , T 1 ) Seien topologische Räume und F : ( X , T ) → ( Y , T 1 ) eine kontinuierliche offene Abbildung sein. Wenn ( X , T ) ein Baire-Raum ist, beweisen Sie das ( Y , T 1 ) ist ein Baire-Raum.

Ich beginne mit: Let { Y N } sei eine Folge offener dichter Teilmengen und v ∈ T 1 willkürlich sein.
Seit F ist ein offenes Mapping, das wir lassen können F ( { X N } ) = { Y N } .
Weil ( X , T ) ist ein Baire-Raum, U ∩ ⋂ N = 1 ∞ X N ≠ ∅ .
Seit F kontinuierlich ist, können wir lassen U = F − 1 ( v ) .
Dann F − 1 ( v ) ∩ ⋂ N = 1 ∞ F − 1 ( Y N ) ≠ ∅ .
Dies impliziert F − 1 ( v ∩ ⋂ N = 1 ∞ Y N ) ≠ ∅ .

Was dazu führt v ∩ ⋂ N = 1 ∞ Y N ≠ ∅ .

Nehme ich hier etwas an, was ich nicht sein sollte?

Das solltest du einfordern F ist surjektiv.
@DanielFischer Kannst du erklären warum?
Ansonsten, Y muss nicht Baire sein. Du hättest zB F − 1 ( v ) = ∅ . In Betracht ziehen Y die disjunkte Vereinigung (topologische Summe) von X und ein Nicht-Baire-Raum, und F die kanonische Aufnahme von X In Y .
Was wäre also ein guter Weg, um dies zu beweisen, ohne das zu fordern? F ist surjektiv?
Du kannst nicht. Wenn F ( X ) ⫋ Y , Dann Y muss nicht Baire sein. Natürlich F ( X ) ist ein Baire-Raum, aber F : X → F ( X ) ist surjektiv.
Also die Aussage:------------[ Let ( X , T ) Und ( Y , T 1 ) Seien topologische Räume und F : ( X , T ) → ( Y , T 1 ) eine kontinuierliche offene Abbildung sein. Wenn ( X , T ) ein Baire-Raum ist, beweisen Sie das ( Y , T 1 ) ist ein Baire-Raum. ]----------------- Ist falsch, es sei denn, f ist auch surjektiv?
@Oliver: Ja: Die Aussage in Ihrem Titel ist wahr, aber das Ergebnis im ersten Absatz Ihrer Frage ist es nicht. Die Hypothesen garantieren nur das F [ X ] ist ein Baire-Unterraum von Y .

Antworten (1)

Ihr Beweis ist noch nicht ganz vollständig.

Wie die Kommentare zeigen, müssen wir davon ausgehen F ist surjektiv oder wechselt zu F [ X ] als Kodomäne, um dies zu erzwingen (so beweisen Sie F [ X ] ist Baire).

Es ist in Ordnung, mit offenen und dichten Teilmengen zu beginnen Y N von Y . Das müssen wir zeigen ⋂ N Y N ist dicht drin Y und so dass es jede nicht leere offene Teilmenge schneidet v von Y , also eine solche Kommissionierung v ist auch in Ordnung.

Dann sagst du "seit F ist ein offenes Mapping, das wir lassen können F { X N } = { Y N } " Das ist eine schlampige Notation und auch unklar. Sie wollen das definieren X N , sozusagen:

Lassen X N = F − 1 [ Y N ] für alle N . Durch Surjektivität, F [ X N ] = Y N für alle N und durch Kontinuität von F , alle X N sind offen.

Die Offenheit von F wird verwendet, um das zu zeigen X N ist dicht drin X : vermuten Ö ist offen und nicht leer in X Dann F [ Ö ] ist nicht leer in geöffnet Y , So j ∈ F [ Ö ] ∩ Y N existiert. Dann irgendwelche X ∈ Ö mit F ( X ) = j ist in X N = F − 1 [ Y N ] ebenso, also Ö ∩ X N ≠ ∅ , zeigt X N ist dicht.

Dann sollten Sie die nächsten beiden Zeilen Ihres Beweises vertauschen. (Man muss sich vorstellen U zuerst, bevor Sie es verwenden.) So eingestellt U = F − 1 [ v ] die offen (Stetigkeit) und nichtleer (Surjektivität!) ist. Als X ist Baier, U schneidet die dichte Menge ⋂ N X N , sagen Sie hinein X , und dann F ( X ) ∈ F [ U ] = v und für jeden N , X ∈ X N So F ( X ) ∈ F [ X N ] = Y N . So F ( X ) ∈ v ∩ ⋂ N Y N , und in der Tat ⋂ N Y N ist dicht drin Y nach Bedarf.

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