Ein Paradox, als ich die Bernoulli-Gleichung aus der Energiegleichung ableitete

Ich habe eine Übung: Ableitung der Bernoulli-Gleichung (   P 1 + 1 2 ρ v 1 2 = P 2 + 1 2 ρ v 2 2 ) aus der Energiegleichung:

ρ D ( e + v 2 / 2 ) D T = ∇ ( P v )
Um es klar zu stellen: ρ ist die Dichte, e ist die innere Energie eines infinitesimalen Elements, p und V sind der Druck bzw. die Geschwindigkeit. mit den Bedingungen: stetig, inkompressibel, unsichtbare Strömung und keine Körperkräfte.

Hier ist, was es lief: Wegen der unsichtbaren Strömung, dachte ich dann

D e D T = 0   ( ∗ )
(vielleicht habe ich mich an dieser Stelle geirrt)

Dann hatte ich die Gleichung:

ρ D ( v 2 / 2 ) D T = ∇ ( P v )
Es war für mich einfach, die Bernoulli-Gleichung aus der obigen Gleichung abzuleiten, und ich hatte die Arbeit erledigt, aber dann tauchte eine Sache auf: Die Bernoulli-Gleichung gilt entlang einer Stromlinie, betrachten Sie eine Stromlinie der Strömung unten:Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Lassen v 1 ≠ v 2 , dann haben wir aus der Bernoulli-Gleichung P 1 ≠ P 2 . Angenommen, die Strömung ist ein perfektes Gas, dann aus der Gleichung des perfekten Gases: P = ρ R T , wir werden haben T 1 ≠ T 2 (Weil ρ , R sind konstant). Wir wissen auch, dass e = C v T , C v ist die spezifische Wärme bei konstantem Volumen. Wir weisen darauf hin: e 1 ≠ e 2 , das heißt, das Element bei 1 hat zu einem bestimmten Zeitpunkt eine andere innere Energie als das Element bei 2. Aber nach einiger Zeit hat das Element bei 1 (innere Energie e 1 ) geht zu 2 und erreicht die innere Energie e 2 so können wir sagen D e / D T ≠ 0 . Dieses Ergebnis steht im Gegensatz zu der obigen (*) Gleichung. Kann jemand auf meinen Fehler hinweisen?

In der Tat, wenn Sie Temperaturänderungen in Betracht ziehen, ist es falsch anzunehmen D e / D T = 0 am Anfang.
Normalerweise verwenden wir die Bernoulli-Gleichung, um unterschiedliche Druckwerte anzugeben, dann müssen wir aufgrund der Gleichung unterschiedliche Temperaturwerte haben: P = ρ R T . Wenn wir annehmen, dass sich die Temperatur nicht ändert, was bedeutet die Bernoulli-Gleichung? T ändert sich nicht, dann ändert sich p nicht, dann ändert sich V nicht, wenn wir annehmen, dass sich T nicht ändert, führt dies zu einem ähnlichen Paradoxon.
Ihre Annahme, dass sich die innere Energie nicht ändert, gilt nur für inkompressible Strömungen, sobald ein Flüssigkeitsteilchen komprimiert wird, ändert sich seine Energie im Allgemeinen.

Antworten (3)

Sie mussten davon ausgehen, dass die Flüssigkeit inkompressibel ist, um Bernoulli zu schreiben. Die Zustandsgleichung einer solchen Flüssigkeit ist definitiv nicht das perfekte Gasgesetz. Oder umgekehrt, ein perfektes Gas ist im Allgemeinen nicht inkompressibel. Um das Bernoulli-Prinzip darauf anzuwenden, müssen Sie zumindest davon ausgehen, dass der Druck am Anfang und am Ende der Stromlinie gleich ist. Und dann fand entlang der Stromlinie keine Wärmeübertragung statt.

Warum wird angenommen, dass der Druck am Anfang und am Ende der Dampflinie gleich ist, während sich der Druck ändern soll, wenn das Bernoulli-Prinzip angewendet wird?

Die Bernoulli-Gleichung für die stetige Strömung kompressibler Flüssigkeiten lautet

H + 1 2 | v | 2 = C Ö N S T .
entlang von Stromlinien. Hier H ist die Enthalpie U + P v pro Masseneinheit. Es reduziert sich nur auf den Ausdruck des OP, wenn ρ = 1 / v ist eine Konstante.

Mit ρ konstant ist, tut γ muss man auch ins unendliche gehen?
@Dat. Bei inkompressibler Strömung ist der Druck keine sehr nützliche Größe, da er jeden Wert annehmen muss, der erforderlich ist, um das Volumen einer kleinen Flüssigkeit konstant zu halten. Mit anderen Worten, die Euler-Gleichung sollte als eine bestimmende Gleichung angesehen werden P eher als eine, in der P bestimmt v . Dies ist beispielsweise der Grund, warum Wasserschläge schlecht für Sanitärsysteme sind – ein plötzlicher Stopp eines Durchflusses, der durch das Schließen eines Ventils verursacht wird, kann sehr große Drücke erzeugen, die die Rohrleitung reißen können. Daher γ ist auch ziemlich nutzlos.
Ich glaube nicht. Der Druck ist ziemlich wichtig, wenn Sie eine inkompressible Strömung über ein Schaufelblatt haben. Könnten Sie jedoch Ihre Antwort bearbeiten, um zu manipulieren, wie sich Ihre Gleichung wann auf meinen Ausdruck reduziert ρ ist eine Konstante? Es würde mir wirklich helfen
@Dat Ideale Gase sind keine idealen Flüssigkeiten (dh nicht inkompressibel), siehe cfd-online.com/Forums/main/… und facstaff.cbu.edu/rprice/lectures/idealgas.html .
Auch das, was Mike Stone sagt, ist richtig. Geschwindigkeiten werden mit Grenzschichtnäherungen für inkompressible Strömungen über Tragflächen bewertet, deren Druck- und Scherspannungsverteilungen dann aufgelöst werden, um Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte zu erhalten.
@Dat Wenn v konstant ist und keine Wärme fließt (isentrop) dann die innere Energie U pro Masseneinheit ist konstant. Auch P v = P / ρ , also reduziert sich mein Gesichtsausdruck auf deinen.
Sehen Sie sich diese Manipulation bei Problem 7.13 an ( drive.google.com/file/d/190A8k_okkTKAici08u-CX2YPQaMAEmb1/… ). Das Problem ist hier dasselbe: Reduziere (h + V^2/2 = const) auf die Bernoulli-Gleichung. Der Autor verwendet das perfekte Gasgesetz und nimmt an γ nähern sich der Unendlichkeit. Wie stehst du zu dieser Manipulation?
@GodotMisogi Ich habe den Beitrag im cfd-online-Forum gelesen. Martin Hegedus sagte: "Für inkompressible Strömungen löst man zuerst nach Druck und Geschwindigkeit und dann nach Temperatur und Dichte." Ich verstehe, dass p und V aus Kontinuitäts- und Impulsgleichungen gelöst werden. Aber wie T und ρ werden mit Energiegleichung gelöst? Wird die Energiegleichung für inkompressiblen Fluss auf die Bernoulli-Gleichung reduziert, die eine Kontinuitäts- und Impulsgleichung ist? Die Energiegleichung für das inkompressible Modell ist also nutzlos?

Nach langem Überlegen glaube ich, das Problem gelöst zu haben. Die Annahme D e / D T = 0 :

⟹ ∂ e ∂ T + v → ⋅ ∇ e = 0
ist für eine inkompressible Strömung mit der trivialen Lösung richtig ∂ e / ∂ T = ∇ e = 0 , und gilt nur für stetige, reibungsfreie, adiabatische Strömung. Die gesuchte Erhaltungsgleichung lautet:

D D T ( e + P ρ + v 2 2 ) = 0

Wenn Sie dies integrieren, erhalten Sie eine Konstante, die als Gesamtenthalpie angesehen wird:

⟹ e + P ρ + v 2 2 = H 0
Physikalisch wird die innere Energie des Gases mit seiner kinetischen Energie und seinem Druck ausgetauscht, wodurch seine Gesamtenthalpie zurückbleibt H 0 (ein Zustand, in dem ein flüssiges Element adiabatisch zur Ruhe gebracht wird, wobei die Enthalpie definiert ist als H = e + P v , Wo v = 1 / ρ ist das spezifische Volumen) entlang einer Stromlinie konstant ist.

Um dies im Fall einer inkompressiblen Strömung zu erklären, betrachten Sie die komprimierbare Bernoulli-Gleichung in Ihrem beschriebenen Fall, in dem sich das spezifische Volumen (und damit die Dichte) nicht ändert:

H 2 − H 1 = C P ( T 2 − T 1 ) = C v ( T 2 − T 1 ) + P 2 − P 1 ρ = v 1 2 − v 2 2 2 , C P = γ R γ − 1 , C v = R γ − 1

Um ein inkompressibles Gas in dieser Situation anzunähern, lassen Sie γ → ∞ , und Sie erhalten die Bernoulli-Gleichung für inkompressible Strömungen entlang einer Stromlinie, die der Anderson-Lösung mit entspricht C P und die Zustandsgleichung für ein ideales Gas.

Da die Temperaturen an verschiedenen Punkten im Raum unterschiedlich sind, sind die inneren Energien unterschiedlich (was tatsächlich zu Änderungen der inneren Energie im Laufe der Zeit entlang der Stromlinie durch das Erhaltungsgesetz führt D e / D T = 0 [Richtungsableitung in Richtung v → ]). Daher führen Ihre Enthalpieänderungen zu Temperaturänderungen bei konstantem Druck (fast per Definition) oder Druckänderungen bei konstantem Volumen), wenn das Gas als inkompressibel angesehen wird. Beachten Sie, dass die Strömung selbst im ersteren Fall nicht inkompressibel ist.

Ich habe so viele Fragen, schauen Sie sich zuerst Seite 210 an, avionicsengineering.files.wordpress.com/2016/11/… Der Autor sagte: „In der Tat kann die Bernoulli-Gleichung aus der allgemeinen Energiegleichung abgeleitet werden, wie z. B. Gleichung (2.114)“ Ich kann Bernoulli-Gleichung nicht aus Gleichung (2.114) ableiten.
Zweitens, warum tun γ muss unendlich sein? Sie zwingen γ unendlich zu sein, um die Bernoulli-Gleichung aus der Energiegleichung zu treiben, das heißt, Sie fügen eine zusätzliche Annahme hinzu. Das bedeutet, dass die Energiegleichung nur dann auf die Bernoulli-Gleichung reduziert wird, wenn Sie zwingen γ unendlich sein und ρ konstant sein. Aber bedenken Sie, wenn ein Strömungsprofil mit M<<1 überströmt wird ρ gilt in diesem Fall als konstant, γ ist immer noch 1,4. Das bedeutet, dass die Energiegleichung in diesem Fall nicht auf Bernoulli reduziert werden kann.
1. Einige Annahmen reduzieren die Energiegleichung auf: ρ D ( e + v → 2 / 2 ) / D T = − ∇ ⋅ ( P v → ) . Für inkompressible Strömung gilt: ∇ ⋅ v → = 0 , erweitern Sie also die Terme im vorherigen Ausdruck und fangen Sie an, einige zu streichen. Anderson behandelt diese Herleitung auch allgemeiner für kompressible Strömungen in Gl. 7.49. 2. Für inkompressible Strömung M → ∞ Und M = γ R T . Da die Gaskonstante und die Temperatur festgelegt sind, γ → ∞ . Daher reduziert sich die Energiegleichung auf die Bernoulli-Gleichung im inkompressiblen Fluss, wie Ihre Frage verlangte.
Basierend auf Ihrem obigen Kommentar haben wir nur dann einen inkompressiblen Fluss γ → ∞ . Aber betrachten Sie eine Strömung über ein Tragflächenprofil mit M etwa 0,1 auf Meereshöhe. Mit dieser Bedingung, glaube ich γ ist immer noch 1,4, aber warum halten die Leute den Fluss immer noch für inkompressibel?
Inkompressibilität, wenn M < 0,3 ist eine Annäherung, die in realen Experimenten/Simulationen gemacht wurde, damit die Mathematik weniger umständlich ist. Ich denke, der Unterschied in den Ergebnissen variiert innerhalb dieser Grenze um etwa 2%. Zur Herleitung der Bernoulli-Gleichung müssen bestimmte Bedingungen der Strömung erfüllt sein, die auch bei der Herleitung über die Impulsgleichung vorausgesetzt werden.
Wie berechnet man die Temperatur für inkompressible Strömung, Beispiel für die Luftströmung über Tragflächen mit M < 0,3 ?
Verwenden Sie ein Fieberthermometer.
Ein Paradox, als ich die Bernoulli-Gleichung aus der Energiegleichung ableitete
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