Bernoulli-Gleichungen bei unterschiedlichen Flüssigkeiten und Volumenströmen

Question

Bernoulli-Gleichungen bei unterschiedlichen Flüssigkeiten und Volumenströmen

Sorën

Ich habe Zweifel an der Verwendung der Bernoulli-Gleichung, wenn mehrere volumetrische Durchflussraten beteiligt sind.

Betrachten Sie zum Beispiel das Gerät im Bild. Im Hauptrohr fließt Wasser, während sich im Tank darunter ein Insektizid befindet, das in das Hauptrohr gesaugt wird. Der Volumenstrom von Wasser ist $Q_{W}$ , der gewünschte volumetrische Durchsatz an Insektizid ist $Q_I$ . Also auf den Punkt $3$ die Durchflussmenge wäre $Q_W+Q_I$ .

Lehrbuchmäßig die Geschwindigkeiten in Punkt $2$ Und $3$ sind bestimmt als

v_{2, w A T e R} = \frac{Q_{W}}{π (\frac{D_{1}}{2})^{2}}

$v_{2,\mathrm{water}}=\frac{Q_W}{\pi (\frac{d_1}{2})^2}$

v_{2, ich N S e C T ich C ich D e} = \frac{Q_{ICH}}{π (\frac{D^{'}}{2})^{2}}

$v_{2,\mathrm{insecticide}}=\frac{Q_I}{\pi (\frac{d'}{2})^2}$

v_{3, M ich X T u R e} = \frac{Q_{W} + Q_{ICH}}{π (\frac{D_{2}}{2})^{2}}

$v_{3,\mathrm{mixture}}=\frac{Q_W+Q_I}{\pi (\frac{d_2}{2})^2}$

Und ich bin damit einverstanden. Die Probleme liegen in diesem Zusammenhang in der Verwendung der Bernoulli-Gleichung (die ich im Lehrbuch gefunden habe).

Erstens wird BE als Insektizid zwischen Punkt verwendet $1$ Und $2$ , und ich habe keine Probleme damit.

Aber die Gleichung wird auch zwischen Punkt verwendet $2$ Und $3$ für Wasser und dann Mischung , das heißt

P_{2} + \frac{1}{2} ρ_{w A T e R} v_{2, w A T e R}^{2} = P_{3} + \frac{1}{2} ρ_{w A T e R} v_{3, M ich X T u R e}^{2}

$p_2+\frac{1}{2} \rho_{\mathrm{water}} v^2_{2,\mathrm{water}}=p_3 +\frac{1}{2} \rho_{\mathrm{water}} v^2_{3,\mathrm{mixture}}$

Der Punkt ist, dass in $3$ Es gibt nicht nur Wasser, sondern es gibt eine Mischung, also ist die Flüssigkeit anders: Ist es trotzdem erlaubt, die Bernoulli-Gleichung zwischen den beiden Punkten zu verwenden?

Meine Vermutung wäre nein, weil ich auch die Bernoulli-Gleichung zwischen verwenden könnte $2$ Und $3$ aber in Anbetracht des Insekts anstelle von Wasser

P_{2} + \frac{1}{2} ρ_{ich N S e C T ich C ich D e} v_{2, ich N S e C T ich C ich D e}^{2} = P_{3} + \frac{1}{2} ρ_{ich N S e C T ich C ich D e} v_{3, M ich X T u R e}^{2}

$p_2+\frac{1}{2} \rho_{\mathrm{insecticide}} v^2_{2,\mathrm{insecticide}}=p_3 +\frac{1}{2} \rho_{\mathrm{insecticide}} v^2_{3,\mathrm{mixture}}$

Und $v_{2,\mathrm{water}}\neq v_{2,\mathrm{insecticide}}$ Dies steht also im Gegensatz zur vorherigen Gleichung (zumindest die unterschiedlichen Werte von $\rho$ das Problem lösen, was ich bezweifle).

Auch für den Einsatz von Bernoulli in $3$ Ich denke, dass es nicht richtig ist, einen bestimmten Wert von zu verwenden $\rho$ , da die Flüssigkeit wiederum ein Gemisch ist.

Meine Frage ist also: Gibt es einen Grund, warum es richtig ist, die Bernoulli-Gleichung zwischen zu verwenden? $2$ Und $3$ in diesem Fall? Und wie sollte es verwendet werden?

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Bernoulli-Gleichungen bei unterschiedlichen Flüssigkeiten und Volumenströmen

Gert · Answer 1

Im Prinzip können Sie Bernoulli nicht auf ein (einfaches) Rohrnetz anwenden, aber in einigen Fällen reichen Annäherungen aus.

Wenden wir die Bernoulli-Gleichung auf den linken und mittleren Abschnitt des Rohrs an:

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}

$P_1+\frac12 \rho v_1^2=P_2+\frac12 \rho v_2^2$

Da Flüssigkeiten inkompressibel sind ( $A$ ist der Querschnitt des Rohres):

A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}

$A_1v_1=A_2v_2$

Also mit einfacher Substitution:

P_{2} = P_{1} - \frac{1}{2} ρ ((\frac{A_{1}}{A_{2}})^{2} - 1) v_{1}^{2}

$P_2=P_1-\frac12 \rho \Bigg(\Big(\frac{A_1}{A_2}\Big)^2-1\Bigg)v_1^2$

Seit als $A_1 > A_2 \implies P_2 < P_1$

Wenden Sie nun Bernoulli auf den Insektizidfluss an. Am Punkt $1$ Wir nehmen an, dass die Strömungsgeschwindigkeit vernachlässigbar und der Druck atmosphärisch ist ( $P_0$ ):

P_{0} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{ich}^{2} + ρ G H

$P_0=P_2+\frac12 \rho v_i^2+\rho gh$

⟹ \frac{1}{2} ρ v_{ich}^{2} = P_{0} - P_{2} - ρ G H

$\implies \frac12 \rho v_i^2=P_0-P_2-\rho gh$

Mit obiger Gleichung:

\frac{1}{2} ρ v_{ich}^{2} = P_{0} - P_{1} + \frac{1}{2} ρ ((\frac{A_{1}}{A_{2}})^{2} - 1) v_{1}^{2} - ρ G H

$\frac12 \rho v_i^2=P_0-P_1+\frac12 \rho \Bigg(\Big(\frac{A_1}{A_2}\Big)^2-1\Bigg)v_1^2-\rho gh$

Um überhaupt einen nach oben gerichteten Insektizidfluss zu haben , dh $v_i > 0$ , Dann:

\frac{1}{2} ρ ((\frac{A_{1}}{A_{2}})^{2} - 1) v_{1}^{2} > P_{1} - P_{0} + ρ G H

$\frac12 \rho \Bigg(\Big(\frac{A_1}{A_2}\Big)^2-1\Bigg)v_1^2 > P_1-P_0+\rho gh$

Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, wird der mittlere Abschnitt des Rohrs tatsächlich Wasser in den Insektizidspender lecken!

Wenn es erfüllt ist und vorausgesetzt $v_i\ll v_1$ dann sollte dein Ansatz ungefähr funktionieren. Aber für größere $v_i$ Sie müssten die Kreuzmethode für Rohrleitungsnetze anwenden .

Ich habe Zweifel an der Verwendung der Bernoulli-Gleichung, wenn mehrere volumetrische Durchflussraten beteiligt sind.

Ihre Zweifel sind also berechtigt, aber für kleine abgegebene Insektizidmengen sollte Ihr ungefährer Ansatz funktionieren.

Tief · Answer 2

(Subskripte $w,i,m$ entsprechen Wasser, Insektizid bzw. Mischung.)

Erste, $Q_m=Q_w+Q_i$ nur wenn $\rho_w=\rho_i=\rho_m$ . Andernfalls müssen Sie Massenströme gleichsetzen, $\dot{M}_m=\dot{M}_w+\dot{M}_i$ , finden $v_m$ , unter der Annahme, dass die Mischungsdichte über den Querschnitt am Punkt 3 gleichmäßig ist.

Zweitens ist die Form der Bernoulli-Gleichung, die Sie aufgeschrieben haben, nur dann entlang einer Stromlinie anwendbar, wenn die Dichte entlang dieser Stromlinie konstant bleibt. Sie müssen also eine Stromlinie finden, über der die Dichteänderung im Vergleich zu einer Referenzdichte vernachlässigbar ist, sagen wir die mittlere Dichte über dieser Stromlinie. Ich weiß nicht, welche der Bernoulli-Gleichungen, die Sie aufgeschrieben haben, gültig sind.

Bernoulli-Gleichungen bei unterschiedlichen Flüssigkeiten und Volumenströmen

Sorën

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Gert

Tief

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