Einfallsgeschwindigkeit in Kernkollaps-Supernovae

Vielleicht möchten Sie sich „Stellar Structure and Evolution“ von Kippenhahn, Weigert und Weiss ansehen. Absatz 36.3.1 „Einfache Einsturzlösungen“ enthält genau das, was Sie suchen. Insbesondere Abbildung 36.5 zeigt das Geschwindigkeitsprofil als Funktion der radialen Massenkoordinate. Ich habe die Abbildung hier wiedergegeben:

Die Begründung ist mehr oder weniger wie folgt: Man kann den kollabierenden Kern als relativistisches entartetes Gas mit Zustandsgleichung modellieren

Sie benötigen auch die Kontinuitätsgleichung der Masse

Wenn Sie einen Skalierungsfaktor definieren$a$und eine radiale Koordinate$z$so dass$r=a(t)z$, können Sie sehen, dass sich das Gleichungssystem in eine Gleichung für entkoppelt$a(t)$das kann leicht integriert werden, und eine Gleichung für$\rho(z)$:

Was der Lane-Emden-Gleichung sehr ähnlich ist. Hier$w(z)$ist so definiert, dass$\rho(z) = \rho_c w^3(z)$, genau wie in Lane-Emden. Der Parameter$\lambda$ist eine Konstante, die in gewisser Weise die Abweichung vom hydrostatischen Gleichgewicht misst. In der Tat, wenn$\lambda = 0$, erhalten Sie die Lane-Emden-Gleichung im Gleichgewicht.

Genau wie bei der Lane-Emden-Gleichung lässt diese Gleichung nur Lösungen bis zu einer Gesamtmasse zu$M<M_{c}$, Wo$M_c$ist nicht viel höher als die Chandrasekhar-Masse.

Das Ergebnis ist, dass wenn die Masse des kollabierenden Kerns größer ist als$M_c$, der gesamte Kern kann nicht durch die Lösung der Gleichung beschrieben werden. Der innere Teil des Kerns, bis zu$M_c$wird der umrissenen Gleichung folgen und wird daher homolog zu fallen$v_r = \frac{\dot{a}}{a}r$: Die Radialgeschwindigkeit ist umso höher, je weiter vom Zentrum entfernt. Der äußere Teil des Kerns, der nicht durch die Gleichung beschrieben wird, befindet sich stattdessen nahezu im freien Fall.

Weiterhin ist die Chandrasekhar-Masse proportional zu$\mu_e^{-2}$. Beim Kollaps werden also Elektronen eingefangen$\mu_e$erhöht und$M_{c}$nimmt ab. Dies bedeutet, dass während des Kollapses der Teil des Kerns schrumpft, der homolog kollabiert.

Dies war nur ein Überblick über den Prozess, wenn Sie mehr Details wünschen, ermutige ich Sie nachdrücklich, sich den Kippenhahn anzusehen.

tl;dr: Der innere Teil des Kerns kollabiert homolog mit$v \propto r$, während der äußere Teil fast im freien Fall mit ist$v \propto r^{-1/2}$

Überschalleinfall und einige weitere Referenzen

Auf Anregung von Lekhas Kommentar habe ich weitere Referenzen zu diesem Thema gefunden. Kippenhahn(1) stützt seine Argumentation auf Goldreich(3) und Yahil(4)(5). Die Zahl stammt stattdessen von Müller(2).

Nach Yahil (4), da die Geschwindigkeit des Einfalls die Geschwindigkeit des freien Falls nicht überschreiten kann$v_{ff} \approx \sqrt{\frac{2Gm}{r}}$, kann die Masse des inneren Teils des Kerns bestimmt werden, indem festgestellt wird, wo die Geschwindigkeit des homologen Kollapses liegt$v \propto r$gleich$v_{ff}$. Numerische Berechnungen zeigen das im äußeren Teil$\rho r^3 = const$. Grob überlegt bedeutet dies das$m(r) \sim log(r)$Und$v_{ff} \sim \rho^{1/6}$. Aber auch die Schallgeschwindigkeit geht da$c_s = {\partial P \over \partial \rho} \sim \rho^{1/6}$, Deshalb$\frac{v}{c_s} \approx const$. Tatsächlich zeigen die Ergebnisse der Simulation, dass die Einfallsgeschwindigkeit des äußeren Kerns konstant um Mach 2 liegt. Denken Sie jedoch daran, dass Yahils Modell kein Politrop mit annimmt$\gamma = \frac{4}{3}$und ist daher allgemeiner als die hier vorgestellte.

Verweise:

(1) Kippenhahn, R., Weigert, A., und Weiss, A., Stellar Structure and Evolution . 2012. S. 462-465. doi:10.1007/978-3-642-30304-3.

(2) Müller, E. „Computational Methods for Astrophysical Fluid Flow, Saas Fee Advanced Course 27“. 1997. Aufl. von LeVeque, RJ, Mihalas, D., Dorfi, EA, Müller, E. (Springer, Berlin Heidelberg), p. 343

(3) Goldreich, P. und Weber, SV, „Homologely collapsing stellar cores“, The Astrophysical Journal , vol. 238, S. 991–997, 1980. doi:10.1086/158065.

(4) Yahil, A. und Lattimer, JM, „Supernovae for footers“, in Supernovae: A Survey of Current Research , 1982, vol. 90, S. 53–70. ( Ich konnte dieses Papier nicht finden, aber es wird im folgenden referenziert )

(5) Yahil, A., „Selbstähnlicher Sternkollaps“, The Astrophysical Journal , vol. 265, S. 1047–1055, 1983. doi:10.1086/160746.