Einige Fragen zur Logik der Prinzipien der Bewegungsunabhängigkeit und Bewegungskomposition

In Lehrbüchern der Oberstufe* begegnet man oft den Prinzipien der Bewegungsunabhängigkeit und der Komposition (oder Überlagerung) von Bewegungen. In diesem Zusammenhang wird dies als "Unabhängigkeit von Geschwindigkeiten " und Überlagerung von Geschwindigkeiten (nicht von Kräften) verwendet .

Dies wird oft durch das Beispiel der Bewegung eines Projektils veranschaulicht, wo die vertikalen und horizontalen Bewegungen unabhängig voneinander sein sollen und sich die Geschwindigkeiten wie Vektoren addieren.

Nun, wenn X : R → R 3 die Bewegung des betrachteten Objekts beschreibt, ist klar, dass man die Geschwindigkeit zerlegen kann v = X ˙ willkürlich durch v = v 1 + v 2 Wo v 1 ist willkürlich und v 2 := v − v 1 .

Das führt mich zu meiner ersten Frage: Habe ich Recht, dass dies reine Trivialmathematik ist und überhaupt keine Physik enthält? Wenn dem so wäre, würde es nicht verdient, "Prinzip der Komposition von Bewegungen" oder so ähnlich genannt und als grundlegend bezeichnet zu werden.

Allerdings scheint man die obige Zerlegung so interpretieren zu können v 1 ist die Geschwindigkeit des Objekts in Bezug auf ein sich mitbewegendes Bezugssystem v 2 . Wenn ja, wie sieht man, dass dies im relativistischen Fall schief geht?

Nehmen wir nun an, Sie haben zwei Kräfte F 1 Und F 2 die Sie ein- und ausschalten können, nehmen wir an F ich allein würde zu einer Bewegung führen X ich ( ich = 1 , 2 ). Die Newtonsche Mechanik lehrt uns das Prinzip der Überlagerung von Kräften, dh wenn man beide Kräfte dreht F 1 Und F 2 auf, die resultierende Bewegung X ist die Lösung der Differentialgleichung X ¨ = 1 M F ( X , X ˙ , T ) (wobei m die Masse unseres Objekts ist) mit F = F 1 + F 2 .

So könnte man das Prinzip der Bewegungskomposition immer interpretieren X ˙ = X ˙ 1 + X ˙ 2 gilt. Dies ist eindeutig der Fall, wenn F ich hängt linear ab ( X , X ˙ ) . Ich denke jedoch, dass dies nicht für nichtlineare Kräfte gelten muss. Dies führt mich zu meiner dritten Frage: Gibt es ein einfaches mechanisches Experiment, bei dem solche nichtlinearen Kräfte auftreten, das zeigt, dass in diesem Fall das "Prinzip der Komposition von Bewegungen" nicht gilt?

*Ich habe dies in einigen (älteren) deutschen Lehrbüchern gefunden, zum Beispiel: Kuhn Physik IIA Mechanik, p. 107, Grimsehl Physik II S.16,17

vergleiche auch
http://sirius.ucsc.edu/demoweb/cgi-bin/?mechan-no_rot-2nd_law und Arons

Zu Ihrer dritten Frage: Betrachten Sie die Bewegung eines Projektils unter Berücksichtigung des Luftwiderstands   v 2 .

Antworten (1)

Es gibt zwei verschiedene Ideen in der "Überlagerung von Bewegung", die eine ist Kinematik und die andere Dynamik. Das kinematische Gesetz ist eine triviale Zerlegung von Vektoren – die Geschwindigkeiten bilden einen Vektorraum, und Sie können sie addieren. Dies gilt auch in der Relativitätstheorie, wenn sich ein Objekt A mit der Geschwindigkeit v bewegt und ein anderes Objekt B sich u schneller bewegt als v, indem es pro Zeiteinheit u mehr Weg zurücklegt (wobei Weg und Zeit im stationären Koordinatensystem liegen). dann ist v+u die Geschwindigkeit von Objekt B.

Aber in der Relativitätstheorie ist die Differenzgeschwindigkeit u nicht die Geschwindigkeit von Objekt B, gemessen im Koordinatensystem von Objekt A, weil das Koordinatensystem A unterschiedliche Zeit- und Raumachsen hat. Aber Geschwindigkeiten bilden immer noch einen Vektorraum, nur entspricht die Symmetrie des Wechsels von Rahmen zur Bewegung mit der Geschwindigkeit v nicht der trivialen Addition von Vektorgeschwindigkeiten wie in der Galileischen Kinematik.

Die zweite Frage, die nach Kräften, ist dynamisch. Sie fragen, warum getrennte Kräfte getrennte Bewegungen erzeugen, und gibt es Fälle, in denen dies fehlschlägt. Die Antwort ist nein, denn hier gilt ein Erhaltungsgesetz – die Erhaltung des Impulses. Wenn Sie eine Kraft F anwenden, fügen Sie einem Objekt pro Zeiteinheit F Impulseinheiten hinzu. Wenn Sie eine zweite Kraft F' anwenden, fügen Sie dem Objekt F' Impulseinheiten hinzu. Die beiden Kräfte addieren sich, weil der Impuls eine vektorerhaltende Größe ist – seine separaten Komponenten sind separat erhalten, und die Komponenten der Kräfte sagen Ihnen, wie viel von jeder Impulskomponente hereinkommt.

Erhaltungsgrößen sind solche, die sich zu einer Konstanten addieren, egal was passiert, und es ist immer eine reine Addition, auch wenn die Dynamik nichtlinear ist. Es gibt also keinen Fall, in dem zwei äußere Kräfte zu etwas anderem als zwei additiven Impulsänderungen führen, und wenn der Impuls vollständig in sich bewegenden Teilchen enthalten ist, bedeutet dies, dass zwei Kräfte auf ein sich bewegendes Teilchen additive Geschwindigkeitsänderungen, additive Beschleunigungen erzeugen.

Fundamentaler ist die Begründung des Newtonschen Bildes aus der Erhaltung des Impulses (und des Drehimpulses).

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