Vorteile der Lagrange-Mechanik gegenüber der Newton-Mechanik [geschlossen]

Es ist notwendig, die Newtonsche Mechanik zu studieren, um die Lagrangesche Mechanik wirklich zu verstehen, da ihre zugrunde liegende Grundlage die Newtonsche Mechanik ist. Es ist im Wesentlichen eine andere Formulierung derselben Sache. In gewisser Weise macht man bei Lagrange-Mechanik immer noch Newton-Mechanik, nur im Hinblick auf Energie. Sagen wir zum Beispiel unter der Lagrange-Mechanik, wir haben ein Teilchen mit etwas kinetischer Energie,${T=\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}}$, also in einem Gravitationsfeld,$V=mgq$. Unser Lagrange ist definiert als$L=T-V$, also unter Verwendung der Euler-Lagrange-Gleichung,${\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0}$, würden wir bekommen$m\ddot{q}+mg=0$, was Sie sehen können, ist nur Newtons übliche Summe von Kräften, die uns in diesem Fall sagt, dass die Beschleunigung,$\ddot{q}$, hier nur aufgrund der Gravitationsbeschleunigung,$g$.

Während dies wie ein komplizierter Weg erscheint, um zum selben Ergebnis zu gelangen, können Sie ein anderes Beispiel verwenden, um ein viel komplizierteres System wie ein Doppelpendel [pdf-Link] mit beiden Methoden zu lösen, um den Punkt zu erläutern, warum die Lagrange-Mechanik die ist Methode der Wahl.

Sie können sehen, dass die Lagrange-Mechanik eine viel elegantere und direktere Möglichkeit bietet, diese komplizierten Systeme zu lösen, insbesondere wenn Sie anfangen, Dämpfungs- oder Antriebsmechanismen hinzuzufügen.

Einer der attraktiven Aspekte der Lagrange-Mechanik ist, dass sie Systeme viel einfacher und schneller lösen kann, als dies auf dem Weg der Newton-Mechanik der Fall wäre. In der Newtonschen Mechanik muss man beispielsweise Einschränkungen explizit berücksichtigen. Einschränkungen können jedoch in der Lagrange-Mechanik umgangen werden. Sie können die Lagrange-Gleichungen auch ziemlich einfach modifizieren, wenn Sie so etwas wie Antriebs- oder Dissipationskräfte berücksichtigen möchten.

Nein, ich würde dringend empfehlen, die Newtonsche Mechanik vor der Lagrangeschen Mechanik zu studieren. Ja, es ist zwar „möglich“, etwas über die Lagrange-Mechanik vor der Newtonschen zu lernen, aber viel Intuition würde verloren gehen, wenn man mit der einen statt mit der anderen beginnt, was Ihnen auf lange Sicht nicht mehr als schaden oder bestenfalls möglicherweise tun wird dich verwirren. Aber dieser Formalismus hat tatsächlich viele Vorteile.

Obwohl die Antwort von ERK einige gute Gründe angibt ( dh Einfachheit der Lösungen und dergleichen), denke ich, dass die Lösung einen entscheidenden Teil der Lagrange-Mechanik beschönigt (die ich nur der Vollständigkeit halber posten werde): Sie ermöglicht es uns, in verallgemeinerten Koordinaten zu arbeiten und sind vollständig unveränderlich für sie.

Während die Newtonsche Formulierung eine explizite Umschreibung ihrer Gesetze erfordert, um mit beliebigen Koordinatensystemen umgehen zu können, erlaubt uns die Lagrangesche Formulierung (die, wenn ich mich richtig erinnere, etwas schwächer als die ursprüngliche Newtonsche Formulierung ist) wiederum, mit beliebigen Koordinatensystemen umzugehen auf Räume, die zu unserem Problem passen.

Ein einfaches Beispiel ergibt sich aus dem Umschreiben jeder Formulierung in Polarkoordinaten (2D). Erwägen Sie, die Definition von Kraft in zwei Dimensionen neu zu schreiben (angenommen$m=1$):

wobei die meisten Terme in der LHS aus der Differenzierung der Basisvektoren hervorgehen (da sie sich an jedem Punkt ändern). Andererseits behalten die Lagrange-Ausdrücke ihre übliche Form bei:

und alles, was wir tun müssen, ist, die Formen der kinetischen/potenziellen Energie in Polarkoordinaten umzuschreiben (was Sie oft haben, wenn Sie diese Methode verwenden, um Symmetrien in dem Problem auszunutzen). Dies bedeutet insbesondere, dass Beschränkungen erzwungen werden können, indem geeignete Koordinatensysteme ausgewählt werden, die zu dem gegebenen Problem passen, anstatt die Beschränkungen explizit zu schreiben und danach zu lösen (wie wir dies oft in Newtons Gleichungen tun müssten).

Darüber hinaus gibt es eine Menge Feinheiten, die direkt aus dem Lagrangian und seiner entsprechenden Aktion bewiesen werden können (was der zugrunde liegende Grund für diese besonderen Invarianzen ist), insbesondere der Satz von Noether, der besagt, dass jede Lie-Symmetrie der Aktion einem Erhaltungsgesetz entspricht; Wenn beispielsweise der Lagrange eines bestimmten Systems unter infinitesimalen zeitlichen Verschiebungen unveränderlich ist, bleibt die Gesamtenergie dieses Systems erhalten .

Es ist wahr, dass diese Art von Theoremen (theoretisch) direkt aus den Newtonschen Gesetzen bewiesen werden kann (da sie in gewissem Sinne eine Folge davon sind), aber die Symmetrien der Gesetze sind nicht ohne weiteres ersichtlich, bis sie in dieser Formulierung neu formuliert werden.

Möglicherweise verwandte Fragen: Was ist der Unterschied zwischen Newtonscher und Lagrangescher Mechanik auf den Punkt gebracht? , Was genau sind Hamiltonsche Mechanik (und Lagrangesche Mechanik)

Sie sollten die Newtonsche Mechanik vor der Lagrange-Mechanik studieren, da die Newtonsche Mechanik allgemeiner ist als die Lagrange-Mechanik. Mit anderen Worten, während immer, wenn ein System eine Lagrange-Formulierung zulässt, es auch eine Newton-Formulierung zulässt, gilt das Gegenteil nicht ; der Quintessenzfall ist die Dynamik in Anwesenheit dissipativer Kräfte . Die Lagrange-Dynamik ermöglicht die Behandlung einer sehr eingeschränkten Klasse von dissipativen Kräften, dh solche, die nur von der Geschwindigkeit abhängen , siehe zum Beispiel diese Online-Diskussion . Aber der allgemeinste Fall (denken Sie zum Beispiel an eine Münze, die in eine geschichtete Atmosphäre fällt und sich um ihre Achse dreht, aber mit ihrer Symmetrieachse nicht parallel istzu seiner momentanen Geschwindigkeit) ist völlig außerhalb der Reichweite der Lagrange-Dynamik.

Wenn Sie dieses Beispiel für erfunden oder weit hergeholt halten, denken Sie an einen Flugzeugflügel, der sich in einer turbulenten Luftschicht bewegt, und an die Bedeutung der Berechnung der Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte.

Gleichzeitig mag man sich fragen, warum wir uns dann noch mit dem Studium der Lagrange-Mechanik befassen, wenn ihr Gebiet offensichtlich auf Kräfte beschränkt ist, die sich aus einem Potential ableiten lassen. Es gibt viele Gründe:

1. Alle fundamentalen Kräfte in der Natur können von einer Art Potential abgeleitet werden; Während wir daran interessiert sind, unsere Flugzeuge über Wasser zu halten, ist es auch wahr, dass Elektromagnetismus, Schwerkraft, schwache und starke Wechselwirkungen alle von einer Lagrange-Funktion abgeleitet werden können;

2. Lagrangianer machen die Ableitung der Bewegungsgleichungen in verallgemeinerten Koordinaten unmittelbar, anstatt Dinge auf die Achse zu projizieren und sich in den Details der Geometrie zu verlieren;

3. Lagrange-Operatoren erleichtern die Diskussion der Invarianzprinzipien, indem sie die Verbindung zwischen den Symmetrien des Lagrange-Operators mit der Existenz von Erhaltungsgrößen (Theorem von Noether) aufdecken und die Diskussion von Symmetrien im Lagrange-Operator trivial machen. Betrachten Sie als Beispiel die Ableitung der Erhaltungsgröße für die Bewegung eines Punktteilchens im Feld, das von einer unendlichen Spirale erzeugt wird: Aus der Symmetrie der Lagrange-Funktion lässt sich leicht zeigen, was die Erhaltungsgröße ist (sie ist eine der erste Übungen in Landau und Lifshitz; Band 1 Mechanik), während man versucht, dasselbe in der Newtonschen Mechanik zu tun. Beachten Sie, dass ich nicht angegeben habe, welche Art von Feld von der Helix erzeugt wird, da die Erhaltungsgröße immer gleich ist, unabhängig von der Natur des Feldes (sofern es aus einem Potential abgeleitet werden kann).

4. Eine Lagrange-Funktion ist mit dem Konzept eines Minimums verbunden , und obwohl die Natur dieses Minimums per se nicht extrem wichtig ist, führt sie zu numerischen Näherungsverfahren (den sogenannten Relaxationsmethoden), die manchmal unsere einzigen und sehr oft unsere besten sind Herangehensweise an ein konkretes Problem.

5. Wenn Sie mir einen Streifzug außerhalb der Klassischen Mechanik gestatten, ermöglicht eine Lagrange-Behandlung eines Problems eine starke Analogie mit den nichtkommutierenden Operatoren von QM und der Einführung von Kommutatoren und Antikommutatoren , was ein wichtiger Schritt in der Entwicklung von QM war.