Allgemeine Konstruktion von Bewegungsgleichungen für freie Teilchen

Es gibt gewissermaßen einen Weg, sich auf der Grundlage der Symmetrien zu den Bewegungsgleichungen zu „führen“. Die für diesen Zweck am besten geeignete Form der Mechanik ist das Hamilton-Prinzip - das System nimmt einen Weg, für den die Aktion einen stationären Wert für Variationen mit festen Endpunkten hat:

$$\delta S=0$$

$S$wird im Allgemeinen ausgedrückt als (unter einigen Parametrisierungen von Pfaden mit parameter$t$):

$$S = \int_{path} L(x, \dot{x})dt$$

Zu den Bewegungsgleichungen führen:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \frac{\partial L}{\partial x}$$

Nun erwartet man im Allgemeinen, dass die Aktion die Symmetrien des Problems respektiert. Betrachten Sie die folgenden Beispiele:

Newtonsche Mechanik

Hier haben wir Teilchen, bei denen die Position als Funktion der Zeit angegeben ist:$x(t)$. Aufgrund der Translations- bzw. Rotationsinvarianz fordern wir diese Aktion$S$hängt nicht von einer bevorzugten Position oder Richtung ab. Die Form, die wir effektiv haben, ist dann$L = L(|\dot{x}|)$. Wir verlangen ferner, dass es die galiläische Symmetrie respektiert. Dafür benötigen wir das$\delta S$ist unveränderlich unter$\dot{x} \rightarrow \dot{x}+u$für konstant$u$. Dies ist möglich, wenn$L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2$, so dass unter dieser Transformation

$$S = \int\frac{1}{2}m\dot{x}^2dt \rightarrow \int\frac{1}{2}m\dot{x}^2dt + \int mu\ dx + \int\frac{1}{2}mu^2dt$$ Die letzten beiden Terme sind nur Funktionen des Endpunkts des Pfads, und daher verschwindet ihre Variation, dh $\delta\int dx = \delta\int dt = 0$. Dies führt auf die Bewegungsgleichung: $$m\ddot{x} = 0$$ oder $$\ddot{x} = 0$$

Dies ist genau die Bewegungsgleichung, die man nach dem zweiten Newtonschen Gesetz für ein freies Teilchen erhalten würde. (Anmerkung: Mechanik wird so dargestellt zB in Landau und Lifshitz, Mechanics ).

Spezielle Relativität

Hier fordern wir, dass die Aktion unter Lorentz-Transformationen invariant ist, zusätzlich dazu, dass sie translationsinvariant ist. Wir wählen also für die Wirkung das Integral über Wege des Raumzeitintervalls selbst:

$$S = m\int \sqrt{\eta_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}}$$

Einstellung$\delta S=0$führt auf die geodätische Bewegungsgleichung für ein freies Teilchen, dh die Bewegung ist eine gerade Linie in der Raumzeit.

Ich bin mir nicht sicher, ob dies als "kanonischer" Weg gilt; es ist eher so, als würde man fundierte Vermutungen anstellen.