Bricht das Newtonsche Gesetz die Skaleninvarianz?

Question

Bricht das Newtonsche Gesetz die Skaleninvarianz?

SRS

Unter einer Skalentransformation

\begin{matrix} (1) & T \to \bar{T} = μ T Und R \to \bar{R} = λ R, \end{matrix}

$t\rightarrow \bar{t}=\mu t\hspace{0.3cm}\text{and}\hspace{0.3cm}\textbf{r}\to\bar{\textbf{r}}=\lambda\textbf{r},\tag{1}$ Das Newtonsche Gesetz nimmt die Form an

\begin{matrix} (2) & M \frac{D^{2} R}{D T^{2}} = F \Rightarrow M \frac{D^{2} \bar{R}}{D {\bar{T}}^{2}} = \frac{λ}{μ^{2}} F . \end{matrix}

$m\frac{d^2\textbf{r}}{dt^2}=\textbf{F}\Rightarrow m\frac{d^2\bar{\textbf{r}}}{d\bar{t}^2}=\frac{\lambda}{\mu^2}\textbf{F}.\tag{2}$ was zeigt, dass das Newtonsche Gesetz für eine zeitunabhängige nicht skaleninvariant ist

F

$\textbf{F}$ .

Dies erscheint mir überraschend, da die Skalierung untersucht, ob die Physik bei allen Maßstäben (der Vergrößerung) gleich ist, und die Maßstabsinvarianz gebrochen/verdorben wird, wenn das Problem eine eingebaute Längenskala oder Zeitskala enthält. Nun, das Newtonsche Gesetz für ein Massenteilchen $m$ ist nicht skaleninvariant, wie ich in (2) gezeigt habe.

Was ist der Grund dafür? Es gibt keine eingebaute Längenskala oder Zeitskala in dem Problem, die man aus konstruieren kann $\textbf{F}$ Und $m$ . Daher ist es physikalisch überraschend für mich. Bedeutet dies, dass die Aufschlüsselung der Skaleninvarianz nichts mit der intrinsischen Längenskala oder Zeitskala zu tun hat?

ACuriousMind

Ihre Aussage ist ziemlich offensichtlich richtig. Was ist die eigentliche Frage, die Sie stellen möchten? Warum untersuchen Sie die Zeitskalierungssymmetrie für die Newtonschen Gesetze? Sie klingen überrascht, dass es nicht unveränderlich ist – warum hätten Sie angenommen, dass es so wäre?

SRS

@ACuriousMind Ich habe die Frage und den Titel gründlich bearbeitet und klarer gemacht. Bringt es die Frage jetzt klar zum Ausdruck?

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Bricht das Newtonsche Gesetz die Skaleninvarianz?

Ihre Aussage ist ziemlich offensichtlich richtig. Was ist die eigentliche Frage, die Sie stellen möchten? Warum untersuchen Sie die Zeitskalierungssymmetrie für die Newtonschen Gesetze? Sie klingen überrascht, dass es nicht unveränderlich ist – warum hätten Sie angenommen, dass es so wäre?
@ACuriousMind Ich habe die Frage und den Titel gründlich bearbeitet und klarer gemacht. Bringt es die Frage jetzt klar zum Ausdruck?

ACuriousMind · Answer 1

Sie haben gezeigt, dass das Newtonsche Gesetz für eine Kraft nicht skaleninvariant ist $F(x,\dot{x},t)$ das ist skaleninvariant, da Sie das implizit angenommen haben $F$ transformiert sich als Skalar unter der Streckung ¹ . Dies ist eine Art triviale Aussage: Wenn sich die linke Seite einer Gleichung nicht trivial transformiert und Sie davon ausgehen, dass sich die rechte Seite trivial transformiert, kann die Gleichung als Ganzes nicht in- oder kovariant sein.

Der Punkt ist, dass es a priori unbestimmt ist, wie $F$ verwandelt sich unter einer solchen Transformation. Es ist die genaue funktionale Form von $F$ die bestimmt, ob die Bewegungsgleichung unter jeder Transformation, insbesondere der Skalentransformation, invariant ist oder nicht.

Ihre Verwirrung scheint zu sein, dass Sie erwarten, dass die "Newtonsche Mechanik" Skalensymmetrie aufweist. Aber Symmetrien sind Eigenschaften von physikalischen Systemen , nicht von physikalischen theoretischen Rahmen. Da viele Newtonsche Systeme äquivalente Lagrange-Beschreibungen haben, in denen wir den Satz von Noether anwenden können, ist es offensichtlich absurd, von allen Newtonschen Systemen eine Skaleninvarianz zu erwarten, da dies erwarten würde, dass alle eine entsprechende Erhaltungsgröße haben. Ihre "expliziten Längen-/Zeitskalen" werden Ihnen einfach verborgen, weil Sie kein bestimmtes System und daher keinen expliziten Ausdruck für ausgewählt haben $F$ .

^{¹ Zeitunabhängigkeit reicht nicht aus, um zu garantieren, dass das Newtonsche Gesetz nicht skaleninvariant ist, betrachten Sie die Kraft $F = \frac{\dot{r}^2}{r}$ als Gegenbeispiel.}

1. Ich verstehe Ihren Punkt. Da die Skalierungstransformationseigenschaft von $\textbf{F}$ ist a priori nicht bekannt, weil die Form von $\textbf{F}$ nicht bekannt ist, beweist Gl. (2) nicht, dass das Newtonsche Gesetz nicht skaleninvariant ist. 2. Aber wenn $\textbf{F}$ eine konstante Kraft ist, dann bricht Gleichung (2) die Skaleninvarianz. 3. Ist das körperlich nicht überraschend? Überraschend, weil es keine intrinsische Zeitskala oder Längenskala im Problem gibt, die aus der Konstante konstruiert werden kann $F$ Und $m$ . Warum wird dann die Skaleninvarianz mit der Konstante gebrochen? $\textbf{F}$ (physisch)? @ACuriousMind

Benutzer130529 · Answer 2

Newton-Einheit ist $kg⋅m/s^2$ . Die Einheit sagt Ihnen das, wenn Sie die Zeit skalieren $t \to \lambda t$ , das Ergebnis ist nicht invariant, es wird dividiert durch $\lambda^2$ . Es sagt Ihnen auch, dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt, die anderen Einheiten (Meter und Masse) zu skalieren, um eine unveränderliche Kraft zu erhalten. Zum Beispiel, wenn Sie die Länge skalieren $r \to λ^2r$ und die Masse unverändert lassen, dann wird die Kraft invariant sein. Sie können die Länge auch skalieren $r \to λr$ und die Masse durch $m \to λm$ ...

Wenn eine bestimmte Größe unter der Zeitskalierung (ohne andere Skalierung) invariant ist, bedeutet dies einfach, dass die Einheit dieser Größe keine Zeit beinhaltet.

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ACuriousMind

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Benutzer130529

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