Warum impliziert die Galileische Invarianz, dass Teilchen, die mit der Ruhe beginnen, auf derselben Linie bleiben?

Ich lese Arnol'd zum Selbststudium. Ich kämpfe mit dieser Frage: "Zeigen Sie, dass jedes System aus zwei Teilchen auf derselben Linie bleibt, die sie im ersten Moment verband, wenn sie in Ruhe begannen." Meine Argumentation ist folgende:

Richten Sie Koordinaten so ein, dass die$x$Achsenpunkte entlang der Linie, und die$y$Und$z$Achsen werden willkürlich zu einem orthonormalen Koordinatensystem aufgestellt. Angenommen, die Positionen und Geschwindigkeiten der Teilchen liegen vollständig entlang der$x$Achse können wir eine der folgenden Koordinatentransformationen anwenden 1.$(t, x, y, z) \to (t, x, -y, z)$und 2.$(t, x, y, z) \to (t, x, y, -z)$. Diese Transformationen ändern seitdem keine relativen Positionen und Geschwindigkeiten$y = z = 0$für beide Teilchen, und in ähnlicher Weise ändern sie die Relativgeschwindigkeiten nicht. Die Transformationen bewahren offensichtlich Zeitintervalle und die Abstände zwischen gleichzeitigen Ereignissen, so dass sie galiläisch sind. Da Kräfte nur von relativen Positionen und Geschwindigkeiten abhängen können und Kräfte unter Galilei-Transformationen unveränderlich sind, ist die Komponente der Kräfte auf jedes Teilchen entlang der y- und z-Achse Null, da dies die eindeutige Zahl ist$x$so dass$-x = x$. Die Kräfte der Teilchen zeigen also entlang der$x$-Achse im Anfangsmoment. Später, wenn sich die Partikel entlang bewegt haben$x$-Achse, wobei die Kräfte entlang dieser Achse etwas an Geschwindigkeit gewinnen, zeigen die Kräfte immer noch entlang der$x$-Achse. "Deshalb" bleiben die Partikel auf dem$x$Achse.

Das Problem bei diesem Argument ist das letzte "Deshalb". Lassen Sie zum Beispiel$y(t)$sei der$y$-Komponente des relativen Abstands zwischen den Partikeln zur Zeit$t$. Dann wissen wir das$y(0) = 0$,$y'(0) = 0$und das obige Argument zeigt das$\forall t \in \mathbb{R}, y(t) = 0 \land y'(t) = 0 \implies y''(t) =0$, aber darauf kann man natürlich nicht schließen$y$ist konstant 0, da dritte Ableitungen Änderungen einführen können$y$. Zum Beispiel die Funktion$y = t^3$, erfüllt beide Bedingungen. Dies scheint darauf hinzudeuten, dass der Satz falsch ist, denn wenn wir die Teilchen 1 und 2 nennen, können wir definieren$\mathbb{f}_1 = R(\mathbb{x}_2 -\mathbb{x}_1)$Und$\mathbb{f}_2= R^{-1}(\mathbb{x}_1 - \mathbb{x}_2)$Wo$R$ist eine Rotationsmatrix, die keine Achse festhält. Diese Kräfte sind invariant unter Zeittranslationen, Rotationen und räumlichen Translationen, daher sind sie invariant unter allen Galilei-Transformationen. Eine geeignete Wahl von R ermöglicht es den Partikeln jedoch, entlang jeder Achse an Geschwindigkeit zu gewinnen.