Warum sind Position und Geschwindigkeit Symmetrien und Beschleunigung nicht?

In der Newtonschen Mechanik und der speziellen Relativitätstheorie ist das Hauptkonzept "Trägheitsrahmen". Man kann die Äquivalenzklasse von Rahmen, die als Trägheit bezeichnet werden, als solche definieren, die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. In all diesen Rahmen sind die Gleichungen der Physik invariant (kovariant).

Erstens: Die Definition des Trägheitssystems sieht aus wie eine tautologische: „Ein System ist inertial, wenn es sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zu einem Inertialsystem bewegt“; ist es aber nicht, und das Konzept ist subtil: Man wählt aus den sichtbaren Teilchen eines mit bestimmten Eigenschaften aus und nennt es "freies Teilchen", das (per Definition) ein Inertialsystem ist, entwickelt die Physik dieses freien Teilchens und Erweitern Sie es auf alle Inertialrahmen.

Zweitens: Die Art und Weise, diese Gesetze der Physik auf das Inertialsystem auszudehnen, beruht auf den Transformationen der Koordinaten. Galileische und Lorentz-Transformationen berücksichtigen nur Position und Geschwindigkeit, und es wird erwartet, dass jede andere Umparametrierung von Geschwindigkeit und Position die von uns entwickelten Gesetze nicht beeinflusst.

Der Schlüssel ist die Art und Weise, wie man diese Transformationen definiert. Lassen Sie es etwas formaler sagen: Man muss den Raum definieren, den man benutzt; in der Newtonschen Mechanik ist eine 3D-Raum-Mannigfaltigkeit mit einer absoluten Zeit (eine im gesamten Raum definierte Skalarfunktion, deren Gradient nicht verschwindet) und einer euklidischen Metrik, während in der speziellen Relativitätstheorie eine 4D-Raumzeit-Mannigfaltigkeit mit Minkowsky-Metrik ausgestattet ist. Wenn man die Symmetrien der Theorie berechnen will, muss man nach den Isometrien des beteiligten Raums suchen. Die Newtonsche Mechanik ist unter Translationen und Rotationen invariant, während die spezielle Relativitätstheorie unter der gesamten Poincaré-Gruppe invariant ist.

Wenn wir die Parametrisierung der Bahn eines Teilchens mit Termen ändern, die Beschleunigung beinhalten, erhalten wir neue Terme in Gleichungen, weil diese Reparametrisierungen keine Transformation in der Gruppe von Isometrien des betrachteten Raums sind.

Drittens: Wir haben tatsächlich eine Theorie, die dieses Problem löst: die Allgemeine Relativitätstheorie. In diesem Fall ist die Raumzeit ebenfalls eine 4d-Raumzeit-Mannigfaltigkeit mit Lorentzscher Metrik. Der erste Schritt besteht darin, alle Isometrien der Raumzeit zu berechnen. Insbesondere ist GR unter Diffeomorphismen invariant, dh jede glatte Reparametrisierung der Weltlinien freier Teilchen wird dieselben Gleichungen ergeben. In diesem Fall sind diejenigen, die wir als "freie Teilchen" ausgewählt haben, Teilchen, die sich geodätisch in der Raumzeit bewegen.

Betrachten Sie als Beispiel einen frei fallenden Körper: Die Newtonsche Mechanik besagt, dass dieser Körper kein freies Teilchen ist, weil die Schwerkraft auf ihn einwirkt. In den Bewegungsgleichungen erscheint ein Term, der sich auf die Schwerkraft bezieht:

$$x = x_0+v_0t+\mathbf{\frac{1}{2}gt^2}$$

In der Allgemeinen Relativitätstheorie kann dieser Begriff jedoch in die Parametrisierung der Zeit aufgenommen werden:

$$\nabla_UU=0\Rightarrow \ddot{x}^\mu+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta=0$$ Wo $U$ist die vier Geschwindigkeit des freien Bo, $\Gamma$sind Christoffel-Symbole, verwandt mit fiktiven Kräften wie Coriolis, und die Zeit wird neu skaliert $t^\prime\rightarrow t+\frac{1}{2}\frac{g}{v_0}t^2$.

Beachten Sie, dass, wenn sich ein Körper nicht frei bewegt, dies bedeutet, dass er sich nicht entlang einer Geodäte bewegt, und versuchen Sie, die Zeit neu zu skalieren, um eine ähnliche Form der Bewegungsgleichungen zu erreichen, führt zu Störfaktoren, wie in der speziellen Relativitätstheorie und Newtonsche Mechanik:

$$\nabla_UU\not=0\Rightarrow \ddot{x}^\mu+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta=Forces$$

Ich denke du stellst hier mehr als eine Frage.

Die erste lautet: Warum sind die Gesetze der Physik in allen Trägheitsbezugsrahmen gleich? Letztendlich kann diese Frage reduziert werden auf Warum ist die Lichtgeschwindigkeit in allen Trägheitsbezugssystemen gleich? Dies ist eine Beobachtungstatsache, für die es keine akzeptierte Theorie gibt, um sie zu erklären. Es ist ein Postulat der Speziellen Relativitätstheorie, also können wir von dieser Theorie keine Erklärung erwarten.

Die 2. Frage ist viel einfacher zu beantworten. Es wird gefragt, warum Position und Geschwindigkeit unterschiedlich sind, aber die Beschleunigung in verschiedenen Trägheitsreferenzrahmen gleich ist.

Dies ist eine Erweiterung der Tatsache, dass 2 Frames, die unterschiedliche Ursprünge, aber keine relative Bewegung haben, eine unterschiedliche Position, aber dieselbe Geschwindigkeit, Beschleunigung usw. für ein Objekt messen. Und 2 Frames mit konstanter Relativgeschwindigkeit messen unterschiedliche Geschwindigkeiten sowie Positionen, aber die gleiche Beschleunigung usw.

Die Beschleunigung ist in allen Trägheitsreferenzsystemen gleich, einfach weil es keine relative Beschleunigung zwischen ihnen gibt. Wenn die Koordinaten eines Ereignisses in den Rahmen S und S' miteinander in Beziehung stehen$x'=x+vt$Dann$\ddot x'=\ddot x$, dh Beschleunigung - und alle höheren Ableitungen - sind gleich.

Die Beschleunigung ist nicht gleich , wenn sie in verschiedenen Referenzrahmen gemessen wird, wenn zwischen ihnen eine relative Beschleunigung besteht. Wenn die Koordinaten in S, S' verwandt sind durch$x'=x+vt+\frac12at^2$Dann$\ddot x'=\ddot x + a$. Wenn jedoch 2 Frames die gleiche Beschleunigung haben und sich nur in der Position und Geschwindigkeit der Koordinatenachsen unterscheiden, stimmen sie in der für ein Objekt gemessenen Beschleunigung überein.