Casimir-Invarianten der galiläischen Gruppe

Ihre Antwort ist nicht klar über die Unklarheit des WP-Artikels der Galileischen Gruppe: Sie liefert Ihnen die zentral erweiterte Lie-Algebra der Galileischen Gruppe, die Bargmann-Algebra , und versichert Ihnen, dass M zentral ist, dh es ist der elfte Generator, der zur Erweiterung eingeführt wurde Konfigurationsraum Galileische Algebra dieses WP-Artikels zu dieser Bargmann-Algebra , auf die Sie sich beziehen und die Sie im WP-Artikel zitiert haben.

Also, gegeben gerade diese Lügenalgebra und die Invarianten dieser Algebra, M , wie darin postuliert; die Massenschaleninvariante$ME- P^2/ 2$; Und$\vec{W}\cdot\vec{W}$Wo$\vec{W} \equiv M \vec{L} + \vec{P}\times\vec{C}$, sollten Sie in der Lage sein, die Kommutatoren der beiden späteren Invarianten mit allen Generatoren zu bearbeiten, um zu sehen, dass sie beide mit allen 11 Lie-Algebra-Elementen kommutieren. Es ist eine Brute-Force-Rechnung. Sie bemerken, dass die letzte Invariante im Gegensatz zur vorletzten zumindest oberflächlich nicht rein quadratisch in den Generatoren ist.

Aufgrund der Struktur der Galileischen Algebra ist es nicht offensichtlich, wie man Invarianten davon konstruiert, aber Versuch und Irrtum hat hier Wunder bewirkt. Alles, was Sie tun müssen, ist die Kommutativität mit allen Generatoren zu überprüfen.

Wenn Sie in dem WP-Artikel, den ich zitiere, gefragt haben , wie M über die 10-Dim-Matrix-Algebra hinaus ins Bild kam, gab es in gut beantworteten Fragen wie 10442 oder 12341 vollständige Diskussionen über die wirklichen Feinheiten, wie dies erreicht wird oder diese, 104216 .

Was Ihre Frage nach schnellen Kandidaten für Casimirs betrifft, erinnern Sie sich im Allgemeinen daran, dass es für die klassischen Vanilla-Lie-Algebren so viele unabhängige Casimirs gibt, quadratisch, kubisch usw., wie die Dimension ihrer Wurzelsysteme oder gleichwertig , ihr Rang (die Dimension ihrer Cartan-Subalgebra), die in jedem guten Buch oder jeder Rezension zur Lie-Gruppentheorie vorgestellt wird.

Zunächst einmal erscheint die Algebra in Ihrer Frage tatsächlich als zentrale Erweiterung der galiläischen Algebra.

Die galiläische Gruppe des dreidimensionalen euklidischen Raums, bezeichnet mit$\mathrm{Gal}_{3}$, nimmt die Gestalt an

$$(s,\vec{a},\vec{v},R)\rightarrow\begin{pmatrix} R & \vec{v} & \vec{a} \\ 0 & 1 & s \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Wo$R\in O(3)$,$\vec{v}\in\mathbb{R}^{3}$Und$\vec{a}\in\mathbb{R}^{3}$. Es kann als angesehen werden$\rho:\mathrm{Gal}(3)\rightarrow\mathrm{GL}(5,\mathbb{R})$Vertretung, wo$\vec{v}$Und$\vec{a}$sind beides Spaltenvektoren.

Seine Lie-Algebra, bezeichnet mit$\mathfrak{gal}_{3}$, nimmt die Gestalt an

$$(\epsilon,\vec{b},\vec{u},X)=\begin{pmatrix} X & \vec{u} & \vec{b} \\ 0 & 0 & \epsilon \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Die Vertauschungsbeziehungen von sind

$$[H,J^{i}]=0\quad [H,P^{i}]=0\quad [H,K^{i}]=-P^{i} \tag{1.a}$$ $$[J^{i},J^{j}]=\sum_{k=1}^{3}\epsilon^{ijk}J^{k}\quad [J_{i},K_{j}]=\sum_{k=1}^{3}\epsilon^{ijk}K^{k}\quad[J^{i},P^{j}]=\sum_{k=1}^{3}\epsilon^{ijk}P^{k} \tag{1.b}$$ $$[K^{i},P^{j}]=0\quad[K^{i},K^{j}]=0 \tag{1.c}$$ $$[P^{i},P^{j}]=0, \tag{1.d}$$

Wo$H$generiert Zeitübersetzung,$\vec{P}$erzeugt räumliche Übersetzung,$\vec{J}$erzeugt Rotation, und$\vec{K}$erzeugt den Galiläischen Boost. Da dies keine halbeinfache Lie-Algebra ist, kann man nicht erwarten, ihre Killing-Form zu finden , und es gibt keinen Standardweg, um ihre Casimir-Invarianten zu finden.

Denken Sie daran, dass für eine gegebene Lie-Algebra$\mathfrak{g}$, seine Casimir-Invariante ist wie folgt definiert:

Definition : Let$\mathfrak{g}$sei eine Lie-Algebra. Die direkte Summe aller möglichen Tensorpotenzen,

$$\bigotimes(\mathfrak{g})\equiv\bigoplus_{p=0}^{\infty}\otimes^{p}\mathfrak{g},$$ bekannt als die Tensoralgebra von$\mathfrak{g}$, enthält ein zweiseitiges Ideal, das durch erzeugt wird $$x\otimes y-y\otimes x-[x,y],$$ Wo$x$,$y\in\mathfrak{g}$. Dann die Quotientenalgebra $$\mathcal{U}(\mathfrak{g})\equiv\bigotimes(\mathfrak{g})/\langle x\otimes y-y\otimes x-[x,y]\rangle$$ heißt die universelle Hüllalgebra von$\mathfrak{g}$. Dann Elemente in der Mitte$Z(\mathcal{U}(\mathfrak{g}))$werden die Casimir-Invarianten von genannt$\mathfrak{g}$.

Im Allgemeinen ein Casimir-Operator$C$eines$n$-dimensionale Lie-Algebra$\mathfrak{g}$soll in Ordnung sein$m$wenn es als Gradpolynom ausgedrückt werden kann$m$in der Grundlage von$\mathfrak{g}$. dh

$$C=\sum_{k_{1},\cdots,k_{n}\geq 0}^{k_{1}+\cdots+k_{n}\leq m}f_{k_{1}\cdots k_{n}}X_{1}^{k_{1}}\cdots X_{n}^{k_{n}}, \tag{$\star$}$$

Wo$\left\{X_{i}\right\}_{i=1,\cdots,n}$ist eine Grundlage von$\mathfrak{g}$.

Für die Galileische Algebra$\mathfrak{gal}_{3}$, kann man sich Hilfe bei der quasi-regulären Vertretung suchen$\mathrm{Gal}_{3}$, die gegeben ist durch

$$\Gamma(s,\vec{a},\vec{v},R)f(t,\vec{x})=f(t-s,R^{-1}(\vec{x}-\vec{v}t-\vec{a}+s\vec{v})),$$

Wo$f$ist eine quadratintegrierbare Funktion . Dann ist es einfach, die folgende Darstellung der Galileischen Algebra zu erhalten:

$$H=\frac{\partial}{\partial t},\quad P_{i}=\frac{\partial}{\partial x^{i}},\quad J_{i}=\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}x_{j}\frac{\partial}{\partial x^{k}},\quad K_{i}=t\frac{\partial}{\partial x^{i}}.$$

Aus den obigen Differentialoperatoren kann man leicht überprüfen, ob ihre Kommutierungsbeziehungen tatsächlich die Gleichungen (1.a) (1.b) (1.c) und (1.d) erfüllen. Nun sollte klar sein, dass die Galileische Algebra$\mathfrak{gal}_{3}$hat nur eine Casimir-Invariante, nämlich

$$C=\|\vec{P}\|^{2}.$$

Beachten Sie auch, dass in der Galileischen Algebra$\vec{K}\times\vec{P}=0$, das ein triviales Element im Zentrum seiner universellen Hüllalgebra ist.

Betrachten Sie als Nächstes die zentrale Erweiterung der Galileischen Algebra.

Definition : Let$G$eine Gruppe sein und$A$sei eine abelsche Gruppe. Eine Gruppe$E$wird als zentrale Erweiterung von bezeichnet$G$von$A$wenn das folgende Diagramm eine kurze exakte Sequenz ist:

$$1\xrightarrow{}A\overset{\iota}{\hookrightarrow}E\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}G\xrightarrow{}1, \tag{2.a}$$ wo Bild von$\iota$ist in der Mitte enthalten$E$, dh$\text{im}(\iota)\subseteq Z(E)$.
Definition : Let$\mathfrak{a}$sei eine abelsche Lie-Algebra, und$\mathfrak{g}$a Lie-Algebra, die Lie-Algebra$\mathfrak{e}$ist eine zentrale Erweiterung von$\mathfrak{g}$von$\mathfrak{a}$wenn die folgenden Homomorphismen der Lie-Algebra eine kurze exakte Folge sind: $$0\xrightarrow{}\mathfrak{a}\overset{\iota}{\hookrightarrow}\mathfrak{e}\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\mathfrak{g}\xrightarrow{}0, \tag{2.b}$$ so dass$[\mathfrak{a},\mathfrak{e}]=0$, Und$\mathfrak{g}\simeq\mathfrak{g}/\mathfrak{a}$.

In der Gruppenkohomologie ist bekannt , dass zentrale Erweiterungen (2.a) von$G$von$A$werden durch die zweite Kohomologiegruppe klassifiziert$\mathrm{H}^{2}(G,A)$. Ebenso die zweite Kohomologiegruppe$\mathrm{H}^{2}(\mathfrak{g},\mathfrak{a})$klassifiziert zentrale Erweiterungen (2.b) von$\mathfrak{g}$von$\mathfrak{a}$.

Was den Fall der Galileischen Gruppe und ihrer Lie-Algebra betrifft, wird in Lie Groups Lie Algebras Cohomology and some Applications in Physics von Jose A. De Azcarraga gezeigt, dass die einzig möglichen zentralen Erweiterungen von$\mathfrak{gal}_{3}$sind wie folgt

$$[H,J_{i}]=0\quad [H,P_{i}]=0\quad [H,K_{i}]=-P_{i} \tag{3.a}$$ $$[J_{i},J_{j}]=\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}J_{k}\quad [J_{i},K_{j}]=\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}K_{k}\quad[J_{i},P_{j}]=\sum_{k=1}^{2}\epsilon_{ijk}P_{k} \tag{3.b}$$ $$[K_{i},P_{j}]=m\delta_{ij}\quad[K_{i},K_{j}]=0 \tag{3.c}$$ $$[P_{i},P_{j}]=0, \tag{3.d}$$

Wo$m\in\mathbb{R}$.

Wenn man sie mit (1.a), (1.b), (1.c) und (1.d) vergleicht, stellt man fest, dass dort eine Anomalie auftritt, die ist$[K_{i},P_{j}]=m\delta_{ij}$. Dieser Parameter ist in der Newtonschen Mechanik als Masse des Teilchens bekannt. Es parametriert zentrale Nebenstellen von$\mathfrak{gal}_{3}$, was als bezeichnet wird$\mathfrak{gal}_{3}(m)$im Folgenden. In Bezug auf die Koholomogie der Lie-Algebra legt dies nahe

$$\mathrm{H}^{2}(\mathfrak{gal}_{3},\mathbb{R})\simeq\mathbb{R}. \tag{4}$$

Beachten Sie auch, dass der anomale Kommutator$[K_{i},P_{j}]=m\delta_{ij}$zeigt an, dass es keine endlichdimensionale Darstellung von gibt$\mathfrak{gal}_{3}(m)$, weil sonst$\mathrm{tr}\left([K_{i},P_{j}]\right)=0=3m$was absurd ist, wenn$m\neq 0$. Dies deutet auch darauf hin, dass im Allgemeinen$\vec{K}\times\vec{P}$darf in der erweiterten Algebra nicht verschwinden$\mathfrak{gal}_{3}(m)$.

Um die Casimir-Invarianten von zu finden$\mathfrak{gal}_{3}(m)$, kann man die Hamiltonsche Mechanik eines klassischen Newtonschen Teilchens studieren, dh

$$S[\vec{x}]=\int dt L(\vec{x},\dot{\vec{x}},t)=\frac{m}{2}\int dt|\dot{\vec{x}}(t)|^{2}. \tag{5}$$

Es ist ein mathematisches Theorem , das eine nicht verschwindende zweite Kohomologieklasse enthält$\mathrm{Gal}_{3}$weist ein topologisches Hindernis auf, um seine projektive Darstellung auf eine lineare Darstellung anzuheben. Das Auftreten der Anomalie (4) legt nahe, dass die Lagrange-Funktion in (5) unter einer generischen Galilei-Transformation möglicherweise nicht vollständig unveränderlich ist. Details werden hier erklärt . Man kann leicht überprüfen, dass sich unter einem Galilei-Boost die Lagrange-Funktion in (5) um eine Gesamtzeitableitung ändert, was die Wirkung immer noch invariant macht. Unter Verwendung des ersten Satzes von Noether erhält man die folgenden erhaltenen Ladungen, die mit Galilei-Transformationen verbunden sind:

$$\vec{p}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\vec{x}}}=m\dot{\vec{x}} \tag{6.a}$$ $$E=\vec{p}\cdot\dot{\vec{x}}-L=\frac{m}{2}|\dot{\vec{x}}|^{2}=\frac{|\vec{p}|^{2}}{2m} \tag{6.b}$$ $$\vec{l}=m\vec{x}\times\dot{\vec{x}}=\vec{x}\times\vec{p} \tag{6.c}$$ $$\vec{g}=m(\vec{x}-t\dot{\vec{x}})=m\vec{x}-t\vec{p}, \tag{6.d}$$

Wo$\vec{p}$,$E$,$\vec{l}$Und$\vec{g}$sind konservierte Ladungen, die durch räumliche Translation erzeugt werden$\vec{P}$, Zeitübersetzung$H$, Drehung$\vec{J}$, und galiläischer Boost$\vec{K}$in (1.a), (1.b), (1.c) bzw. (1.d).

Im Hamilton-Formalismus, wo auf dem Phasenraum die Poisson-Klammer$\left\{x_{i},p_{j}\right\}_{PB}=\delta_{ij}$definiert ist, kann man leicht überprüfen, dass die Poisson-Klammern der obigen Noether-Ladungen eine kanonische Realisierung der Lie-Algebra sind$\mathfrak{gal}_{3}(m)$, dh

$$\left\{E,l_{i}\right\}_{PB}=0\quad \left\{E,p_{i}\right\}_{PB}=0\quad \left\{E,g_{i}\right\}_{PB}=-p_{i} \tag{7.a}$$ $$\left\{l_{i},l_{j}\right\}_{PB}=\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}l_{k}\quad \left\{l_{i},g_{j}\right\}_{PB}=\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}g_{k}\quad\left\{l_{i},p_{j}\right\}_{PB}=\sum_{k=1}^{2}\epsilon_{ijk}p_{k} \tag{7.b}$$ $$\left\{g_{i},p_{j}\right\}_{PB}=m\delta_{ij}\quad\left\{g_{i},g_{j}\right\}_{PB}=0 \tag{7.c}$$ $$\left\{p_{i},p_{j}\right\}_{PB}=0. \tag{7.d}$$

Somit erscheint im kanonischen Formalismus der klassischen Newtonschen Mechanik eine klassische Anomalie der Galileischen Symmetrie, obwohl die Wirkung Galileisch invariant ist. Aus physikalischer Sicht ist dies leicht zu verstehen. Allein durch Beobachtung der Flugbahn eines klassischen freien Teilchens kann man nicht sagen, wie massiv das Teilchen ist. Man kann seine Masse nur messen, indem man seinen Impuls in verschiedenen Trägheitsbezugssystemen misst, die durch galiläische Impulse verbunden sind.

Der Vorteil der Verwendung der Vertauschungsrelationen (7) anstelle von (3) besteht darin, dass man leicht feststellen kann, dass die Noether-Ladungen (6) die folgenden zwei Bedingungen erfüllen:

$$E-\frac{|\vec{p}|^{2}}{2m}=0,\quad\quad\vec{l}-\frac{1}{m}\vec{g}\times\vec{p}=0, \tag{8}$$

die bei der Suche nach ihren Casimir-Invarianten nützlich sind.

Führen Sie nun eine Analyse der relativen Dimensionen in der Algebra durch (3). Der Einfachheit halber sind die Abmessungen von$H$,$\vec{P}$,$\vec{J}$, Und$\vec{K}$werden bezeichnet als$h$,$p$,$j$Und$k$, bzw. Aus den Vertauschungsrelationen (3) hat man

$$hk=p,\quad j^{2}=j,\quad jk=k,\quad jp=p,\quad kp=m.$$

Aus der obigen Dimensionsanalyse findet man das$j$ist dimensionslos, und$k=\frac{m}{p}$, Und$h=\frac{p^{2}}{m}$. Aus Gleichung$(\star)$, ist es klar, dass die Betreiber$H$,$\vec{P}$,$\vec{J}$, Und$\vec{K}$kann in den Casimir-Invarianten nur mit positiven Exponenten auftreten. Dies legt nahe, dass man die Beschränkungen ihrer relativen Dimensionen wirklich so schreiben sollte

$$\frac{kp}{m}=j=1$$ $$h-\frac{p^{2}}{m}=0.$$

Vergleichen Sie sie mit Gleichung (8) und stellen Sie fest, dass nur Terme mit derselben relativen Dimension im Polynom summiert werden können$(\star)$von Casimir-Invarianten schließt man das für die erweiterte Lie-Algebra$\mathfrak{gal}_{3}(m)$, seine Casimir-Invarianten können nur Monome von sein

$$\vec{A}=f_{0}\vec{J}+f_{1}\frac{1}{m}\vec{K}\cdot\vec{P}+f_{2}\frac{1}{m}\vec{K}\times\vec{P},\quad\mathrm{and}\quad B=g_{0}H+g_{1}\frac{1}{m}\|\vec{P}\|^{2},$$

Wo$f_{0}$,$f_{1}$,$f_{2}$, Und$g_{0}$,$g_{1}$zu bestimmende dimensionslose Konstanten sind.

Betrachtet man Gleichung (8), würde eine einfache Vermutung folgende Kombinationen berücksichtigen:

$$C_{1}\equiv M=mI$$ $$C_{2}\equiv U=H-\frac{1}{2m}\|\vec{P}\|^{2}$$ $$\vec{S}\equiv\vec{J}-\frac{1}{m}\vec{K}\times\vec{P}.$$

Offensichtlich,$C_{1}$Und$C_{2}$sind Casimir-Invarianten. Ob$\vec{S}$irgendetwas mit Casimir-Invarianten zu tun hat, bedarf weiterer Arbeit. Dabei kann man sich die Poisson-Klammern (7) zu Hilfe nehmen, da diese völlig isomorph zu den Lie-Klammern (3) sind.

Wenn eine Operatorbeschränkung unter den Noether-Gebühren (6) (bezeichnet als$\mathcal{Q}_{n}$in der folgenden Diskussion der Einfachheit halber), sagen$\mathcal{O}(\vec{x},\vec{p})=0$in der universellen einhüllenden Algebra der Ladungen (6) keine Casimir-Invariante ist, dann hat man mit der Leibniz-Regel der Poisson-Klammern eine

$$\left\{\mathcal{O}^{2},\mathcal{Q}_{n}\right\}_{PB}=\left\{\mathcal{O},\mathcal{Q}_{n}\right\}_{PB}\mathcal{O}+\mathcal{O}\left\{\mathcal{O},\mathcal{Q}_{n}\right\}_{PB}=0,$$

was das impliziert$\mathcal{O}^{2}$muss eine Casimir-Invariante sein. Das deutet darauf hin$\|\vec{S}\|^{2}$muss eine Casimir-Invariante sein.

Zusammenfassend findet man drei unabhängige Casimir-Invarianten der zentral erweiterten Galileischen Algebra:

$$C_{1}\equiv M=mI$$ $$C_{2}\equiv U=H-\frac{1}{2m}\|\vec{P}\|^{2}$$ $$C_{3}\equiv\|\vec{S}\|^{2}=\|\vec{J}-\frac{1}{m}\vec{K}\times\vec{P}\|^{2}.$$

$C_{1}$wird als Masse des Teilchens bezeichnet.$C_{2}$ist als seine innere Energie bekannt, und$C_{3}$ist seine Drehung.