In der QFT wird die Lagrange-Dichte explizit von Anfang an Lorentz-invariant konstruiert. Allerdings die Lagrange
denn ein nicht-relativistisches Teilchen mit freien Punkten ist unter der Galilei-Transformation nicht invariant. Dies spielt letztendlich keine Rolle, da die Differenz eine Gesamtzeitableitung ist.
Ist es jedoch möglich, eine galiläisch invariante Lagrangedichte für ein nicht-relativistisches freies Punktteilchen aufzuweisen?
Satz Schmeorem. Ein Galileisch-invarianter Lagrange-Operator für eine beliebige Anzahl klassischer Teilchen, die mit einem Potential wechselwirken:
Für jede galiläisch-invariante Lagrange-Funktion , der Lagrange
ist explizit galiläisch invariant und hat die gleiche Dynamik (unter der Annahme, dass die ursprüngliche Lagrange-Funktion galiläisch invariant war).
Die galiläischen Eigenschaften der x sind wie üblich. Die dynamischen Variablen erstrecken sich auf include die als Lagrange-Multiplikatoren wirken. Das Transformationsgesetz für u und sind:
Und es ist trivial nachzuweisen, dass die neue Lagrange-Funktion vollständig invariant ist. Die Bewegungsgleichung für macht einfach konstant, gleich , während die Bewegungsgleichung für integriert sich zu
bis auf eine additive Konstante, die ich auf Null gesetzt habe. Dies sind fast alle Bewegungsgleichungen, aber es gibt noch eine weitere Gleichung, die sich aus der Extremisierung der Aktion in Bezug auf ergibt , die setzt
Wobei die Zeit unwichtig ist, weil dies die Schwerpunktsgeschwindigkeit ist, die erhalten bleibt. Die Noether-Vorschrift in der explizit galiläischen unveränderlichen Wirkung ist trivial – die mit galiläischen Verstärkungen verbundene Erhaltungsgröße ist gerecht , und dies ist tatsächlich die Position des Massenmittelpunkts.
Integriert man die kinetische Energie für die übliche Wirkung freier Teilchen partiell, erhält man:
Diese Aktion ist auf der Massenschale galiläisch invariant, was bedeutet, dass der nicht-galiläische invariante Teil Null ist, wenn Sie die Bewegungsgleichungen erzwingen. Dies bedeutet, dass das Hinzufügen einiger zusätzlicher nichtdynamischer Felder eine Galileische invariante Aktion außerhalb der Schale erzeugen sollte, und dies ist die .
Wenn Sie eine Lorentz-Transformation durchführen, ist die Bogenlängen-Partikelaktion invariant. Wenn Sie jedoch den Ursprung der Lorentz-Transformation auf die Anfangszeit festlegen, wird die Endzeit transformiert, sodass der Pfad nach der Transformation nicht mehr zur gleichen Endzeit führt. Wenn Sie die nicht-relativistische Grenze nehmen, entartet die Endzeit mit der Anfangszeit, aber die Aktionskosten durch die Verschiebung der Endzeit gehen nicht gegen Null.
Dies bedeutet, dass Sie eine zusätzliche Variable benötigen, um das unendlich kleine Bit der Endzeit zu verfolgen, und dass diese zusätzliche Variable ein nichttriviales Transformationsgesetz unter Galilei-Transformationen benötigt.
Um herauszufinden, was diese neue Variable sein sollte, ist es immer am besten, das Analoge für die Rotationsinvarianz zu betrachten. Stellen Sie sich eine gespannte Saite mit kleinen Abweichungen von der Horizontalen vor und lassen Sie die Abweichung der Saite von der Horizontalen h(t) sein. Die rotationsinvariante potentielle Energie ist die Bogenlänge der Saite
und dies ist die potentielle Energie, die das rotationsinvariante Analogon der Wellengleichung ergibt. Sobald Sie zu kleinen Abweichungen gehen, ergibt die Erweiterung für U die übliche potentielle Energie der Wellengleichung
und diese ist nicht mehr rotationsinvariant. Aber es ist schief-invariant, was bedeutet, dass das Hinzufügen einer konstanten Steigungslinie zu h die Energie nicht ändert. Abgesehen davon, dass dies durch eine perfekte Ableitung der Fall ist:
Dies ist eindeutig genau die gleiche Situation wie bei der Umwandlung der Lorentz-Invarianz in die Galileische Invarianz, außer dass die Rotationsinvarianz verwendet wird, bei der die Intuition aller fest ist. Das zusätzliche Energie ist auf die quadratische Extralänge einer gedrehten Saite zurückzuführen, während die lineare perfekte Ableitung integriert sich zu , und dies ist der Betrag der Verringerung/Zunahme der Länge, wenn Sie eine geneigte Saite drehen.
Um also eine vollständig neigungsinvariante potentielle Energie zu erhalten, müssen Sie eine Variable hinzufügen die dynamisch auf die Gesamtneigung der Saite beschränkt ist. Diese Variable unterscheidet zwischen verschiedenen gedrehten Versionen der Saite: Das Drehen der Saite an sich ohne Drehen der durchschnittlichen Neigungsvariable ändert die Energie – das liegt daran, dass das Neigen der horizontalen Saite zwischen 0 und A nicht ganz dasselbe ist wie das Vorher- gekippte Saite zwischen 0 und A, die vorgekippte Saite hat eine andere Länge. Das Drehen der Gesamtneigung allein ändert die Energie, aber das Drehen beider bewirkt nichts, und dies ist die Codierung der Rotationsinvarianz.
Sie benötigen also eine durchschnittliche Neigungsvariable, um die explizite Rotationsinvarianz in eine explizite Neigungsinvarianz umzuwandeln. Die gesamte potentielle Energie ergibt sich dann aus den Abweichungen von der mittleren Neigung:
und u transformiert als unter einer Neigung von a. Dies macht die potentielle Energie invariant.
Die kinetische Energie ist durch die Zeitabhängigkeit von h gegeben, und es muss einen Lagrange-Multiplikator geben, um zu erzwingen, dass die Gesamtneigung gleich der durchschnittlichen Neigung ist
Wo ist ein globaler in x Lagrange-Multiplikator für u, der ihn zwangsweise gleich h' macht. Aber es schadet nicht, u in x variieren zu lassen, solange der Lagrange-Multiplikator erzwingt, dass es konstant ist. Der Weg, dies zu tun, besteht darin, den Lagrange-Multiplikatorterm in zu ändern
Aber dann tötet die Bewegungsgleichung den zweiten Term, sodass Sie nur einen Lagrange-Multiplikator benötigen, um zu sein:
Und die Bewegungsgleichungen zwingen u automatisch dazu, die durchschnittliche Steigung zu sein. Diese Manipulationen haben genaue Analoga in Lorentz-Transformationen und erklären die Beziehung der explizit Galilei-invarianten Wirkung zur Lorentz-Wirkung. Das Analogon der durchschnittlichen Steigung ist die Schwerpunktgeschwindigkeit.
Hier möchte ich einige der Argumente aus Ron Maimons inspirierender Antwort erweitern. In Betracht ziehen Punktpartikel mit Positionen . Die Galileische Transformationsgruppe wird zB hier erklärt . Die einzige Transformation, die wir ab jetzt explizit erwähnen wollen, ist die Schertransformation
wo ist die relative konstante Geschwindigkeit der beiden Referenzrahmen.
wo und sind ein kanonisches Paar zusätzlicher Variablen. Die galiläische Transformation lautet
ist immer noch offensichtlich galiläisch invariant. Die galiläische Transformation lautet
Das eom für sind Newtons zweites Gesetz, wie es sein sollte:
Wir schließen daraus
Die beiden Lagrange und sind positive Antworten auf die Frage des OP (v1).
Der neue Lagrange
ist immer noch offensichtlich galiläisch invariant. Das eom für sind Newtons zweites Gesetz mit einer Schwerpunktsubtraktion:
Dies steht immer noch im Einklang mit Newtons zweitem Gesetz, da wir wissen, dass der Schwerpunkt (= CM) eines isolierten Systems eine Nullbeschleunigung haben muss:
Aber erzeugt nicht diese 3 eom, die die CM-Bewegung bestimmen. Wir schließen daraus
Der Lagrange ist keine Antwort auf die Frage des OP (v1).
Dies wird besonders deutlich, wenn wir nur ein Teilchen wählen . Dann der Lagrange verschwindet identisch .
Die Antwort ist negativ. Es gibt keine Wirkung der freien Teilcheninvariante unter der Galileischen Gruppe. Im Folgenden wird eine heuristische Erklärung gegeben und zusätzlich eine Referenz, wo ein detaillierterer Beweis geliefert wird.
Der Hauptgrund ist, dass die Galileische Gruppe nicht auf der Poisson-Algebra von Funktionen auf dem Phasenraum des freien Teilchens realisiert werden kann (ausgestattet mit der kanonischen symplektischen Form). Lediglich ihre zentrale Verlängerung (siehe folgende Wikipedia-Seite ) kann in Form von Poisson-Klammern realisiert werden. Für diese zentrale Erweiterung sind die Poisson-Klammern zwischen den Generatoren der Boosts und die Übersetzungen (dh die Komponenten des Impulses) nicht mehr verschwindet, sondern von der Masse des Teilchens abhängt:
.
Da Boosts die Transformation erzeugen müssen: auf den Impulskoordinaten über die kanonischen Poisson-Klammern müssen die Boost-Generatoren als Vielfache der Ortskoordinaten realisiert werden .
Das Transformationsgesetz der Boosts auf den Phasenraum (der die Mannigfaltigkeit der Anfangsdaten ist, daher beinhaltet diese Realisierung keine Zeit):
Es ist leicht zu verifizieren, dass der Hamiltonoperator für freie Teilchen invariant ist und seine Transformation ein Gruppengesetz erfüllt. Aber diese Erkenntnis macht den Lagrange noch nicht invariant, weil die Cartan-Poincare-Form: ist nicht invariant und ändert sich durch eine totale Ableitung: . Das Vorhandensein von Masse verhindert also, dass die Wirkung invariant ist, und zwar wegen der kanonischen Poisson-Klammer und nicht wegen der Wahl der Dynamik durch die spezielle Wahl des Hamilton-Operators.
Die Nicht-Invarianz der Cartan-Poincare-Form unter den Boosts wird als Nicht-Äquivarianz der den Boosts zugeordneten Momentum-Maps bezeichnet, was darauf hinweist, dass wir die Gruppengeneratoren nicht neu definieren können, sodass die Poisson-Klammer zwischen den Boosts und den Übersetzungsgeneratoren verschwindet. Siehe Seiten 430-433 und Übung 12.4.6 in "Introduction to mechanics and symmetry" von Marsden und Ratiu für einen strengen Beweis.
Hier möchten wir einige der Argumente aus David Bar Moshes inspirierender Antwort erweitern. Insbesondere werden wir das argumentieren
Die natürliche nicht-relativistische Lie-Algebra in der Newtonschen Mechanik ist die Bargmann-Algebra, nicht die Galileische Algebra!
Wir gehen von der relativistischen Hamilton-Lagrange-Funktion aus
Das Lorentzgeneratoren sind
Betrachten Sie die kanonischen Poisson-Klammern
Es ist leicht zu überprüfen, dass die Poisson-Algebra mit der Generatoren
Im Rest dieser Antwort gehen wir davon aus . Das kann man bei jedem Bargmann-Generator überprüfen erfüllt die Off-Shell-Identität
Beispiel. Das Boost-Generatoren (6) erzeugen infinitesimale Galilei-Transformationen . Sie sind Quasisymmetrien
Verweise:
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Für die anfängliche Untersuchung von OP, ob es möglich ist, eine strenge Symmetrie der Lagrange-Funktion und nicht nur eine Quasisymmetrie zu erhalten , verweisen wir auf die anderen Antworten.
Notationen & Konventionen: Griechische Indizes , bezeichnen Raumzeit-Indizes; während römische Indizes , (und Fettdruck) bezeichnen räumliche Indizes. Das Symbol bezeichnet eine On-Shell-Beziehung. Die Minkowski-Zeichenkonvention ist . Und
Wie bei der kanonischen Quantisierung üblich, die statische Eichfixierungsbedingung (der Weltlinien-Reparametrisierungsinvarianz) bricht die manifeste Poincare-Symmetrie. Die Boost-Quasisymmetrie wird jedoch im nicht-relativistischen Limes wiederhergestellt .
Ron Maimon
Ron Maimon
John McAndrew