Eine Frage zur galiläischen Invarianz der Newtonschen Gesetze

Wird beim Beweis der Galileischen Invarianz der Newtonschen Gesetze stillschweigend angenommen, dass alle Gleichungen kovariant, dh forminvariant sind ?

Zum Beispiel ist es ziemlich trivial zu zeigen, dass die rechte Seite von Newtons 2. Gesetz unter Galilei-Transformationen unveränderlich ist. Das ist

M A = M A '
geht man jedoch einfach davon aus, dass die Beziehung F = M A in beiden Inertialsystemen gilt? Es scheint vernünftig anzunehmen, dass sich eine gegebene Kraft, die auf einen Körper wirkt, nicht in Abhängigkeit vom Bezugssystem ändern sollte, dh davon F = F ' , da physikalische Gesetze beobachterunabhängig sein sollten und daher auch die sie beschreibenden Gleichungen beobachterunabhängig sein sollten.

Andere Größen wie Impuls und kinetische Energie sind eindeutig keine galiläischen invarianten Größen, ihre Gleichungen sind jedoch kovariant, dh P = M v → P ' = M v ' Und E k = 1 2 M v 2 → E k ' = 1 2 M v ' 2 , aber in jedem Fall P ' ≠ P Und E k ' = E k . In diesem Fall ist es einfach so, dass Impuls und kinetische Energie einfach durch die Gleichungen definiert werden P = M v Und E k = 1 2 M v 2 , und so trivial P ' = M v ' Und E k ' = 1 2 M v ' 2 ?

Antworten (1)

Die Galileische Relativitätstheorie wird normalerweise im Zusammenhang mit der Newtonschen Mechanik diskutiert. Die Dynamik unterliegt den Newtonschen Gesetzen. Die Galileische Relativitätstheorie betrifft die Kinematik und besagt, dass die dynamischen Gesetze in Bezug auf Galileische Transformationen kovariant sind. Mit anderen Worten, ihre Form ist unveränderlich. Das hast du richtig erkannt.

Vielleicht wäre es nützlich, es von einem abstrakteren mathematischen Standpunkt aus zu betrachten. Im galiläischen Weltbild ist die Raumzeit ein 4-dimensionaler affiner Raum A 4 . Affine bedeutet im Grunde, dass alle Punkte gleich sind und Sie einen Punkt auswählen müssen, wenn Sie darin arbeiten möchten R × R 3 .

Dies bedeutet nur, dass Sie den Ursprung für Ihr Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum und einen Moment lang auswählen müssen T = 0 als Ursprung in der Zeit.

Als Nächstes definieren Sie Ihre Metriken, weil Sie in der Lage sein möchten, Dinge zu messen. Räumlicher Abstand zwischen zwei Punkten in R × R 3 ist definiert als

D ( X , j ) = ∑ N = 1 3 ( j N − X N ) 2

Abstand in der Zeit, dh das Zeitintervall ist definiert als

τ ( X , j ) = | j 0 − X 0 |
wobei die 0-te Komponente für die Zeit steht.

In diesem Bild bedeutet Newtons 1. Gesetz einfach, dass Trägheitsreferenzrahmen eine Äquivalenzklasse von Koordinatensystemen bilden A 4 mit Ursprüngen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen. Genauer gesagt ist in einem Trägheitsbezugssystem der Abstand zum Ursprung jedes anderen Trägheitsbezugssystems eine lineare Funktion der Zeit.

Newtons 2. Gesetz sagt uns, dass jede Bewegung, die nicht durch eine zeitlich lineare Funktion bestimmt wird, ihre Bewegung durch eine Kraft bestimmt haben muss , eine Größe ( im Allgemeinen eine Funktion von Raum und Zeit ), die proportional zur Geschwindigkeit sein muss wodurch der Körper seine Geschwindigkeit ändert. Die Proportionalitätskonstante ist das, was wir Masse nennen .

Newtons 3. Gesetz ist hier weniger relevant, aber geben wir es der Vollständigkeit halber an. Es besagt, dass, wenn ein Körper mit einer gewissen Kraft auf einen anderen einwirkt, der zweite Körper so auf den ersten einwirkt, dass sich die Kräfte bei vektorieller Addition zu Null summieren.

Beachten Sie, dass all diese Gesetze im Wesentlichen koordinatenfrei sind. Sie können sie verstehen, ohne sich ein Koordinatensystem vorstellen zu müssen, da sie von Konzepten sprechen, die unveränderlich sind, wenn Ihr Raum die galiläische Struktur hat. Beim Aufschreiben der Gleichungen muss man irgendwann Koordinaten einführen, wenn man einige Zahlen aus der Rechnung herausholen will, aber die Koordinaten sind einfach ein Hilfsmittel, was in der Mathematik sehr verbreitet ist, weil wir wissen, wie man mit Zahlen umgeht und wie man einfache Algebra und Analysis macht.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass diese Terme in allen Koordinatensystemen genau gleich bleiben sollten, wenn Sie Galileo- invariante Größen wie Beschleunigung oder Kraft haben. Diese Größen hängen nur von der galiläischen Struktur der Raumzeit ab.

Andererseits werden sich galiläokovariante Größen wie Geschwindigkeit und Position ändern, aber in Übereinstimmung mit galiläischen Transformationen. Diese Größen hängen von Ihrer Wahl des Koordinatensystems ab und sind nicht definiert A 4 .

Es ist also einfach konstruktionsbedingt, dass alle Gleichungen unter Galilei-Transformationen kovariant sein müssen, und dann wird festgestellt, dass bestimmte Größen invariant sind , wie z. B. Newtons 2. Gesetz?! Der Grund, warum ich frage, ist, dass in vielen einleitenden Texten davon auszugehen scheint, dass es sich um eine galiläische Transformation handelt F → F = M A ' und dann wird anschließend gezeigt, dass diese Größe unveränderlich ist.
... Habe ich außerdem recht, wenn ich sage, dass nur die augenblickliche Entfernung zwischen zwei Punkten galiläisch invariant ist, die Entfernung zwischen zwei Punkten, die durch ein Zeitintervall ungleich Null getrennt sind, jedoch bedeutungslos ist , da die beiden Punkte "leben"? auf verschiedenen Hyperräumen (da die Zeit beobachterunabhängig ist, verwendet man sie, um einen Satz dreidimensionaler räumlicher Hyperflächen eindeutig zu parametrisieren, eine für jeden Wert von T , Rechts)?!
Zuallererst ein wirklich wichtiger Haftungsausschluss: Wörter wie kovariant und invariant haben oft viele verschiedene, manchmal widersprüchliche Definitionen, stellen Sie also immer sicher, dass Sie wissen, wovon Sie sprechen. Um Ihre erste Frage zu beantworten ... Betrachten Sie es so, alle physikalischen Größen und Beziehungen müssen letztendlich bzgl. einer gewissen Symmetrie kovariant sein. Invariante Objekte sind einfach solche, die sich trivial transformieren , dh genau gleich bleiben. Ja, Sie haben Recht mit der momentanen Entfernung. Das Auswählen eines "Slice" in der Zeit wird durch die galiläische Struktur erlaubt. (...weiter unten...)
(...Fortsetzung) Wenn Sie daran interessiert sind, diese Konzepte auf dieser abstrakteren ( aber definitiv tieferen ) Ebene zu erforschen, empfehle ich dringend das erste Kapitel von Mathematical Methods of Classical Mechanics von VIArnold. Das ganze Buch ist sowieso ein Meisterwerk, gut geschrieben, klar und prägnant.
Auch Allgemeine Relativitätstheorie von A nach B von Robert Geroch. Der Autor diskutiert aristotelische vs. galiläische vs. lorentzsche vs. einsteinsche Sichtweisen auf die Raumzeit. Und das ganze Buch hat nur eine Formel, wenn ich mich recht erinnere. Und es ist nicht einmal in Symbolen ausgeschrieben! Trotzdem ist das Buch überraschend aufschlussreich für jemanden, der diese Dinge lernt.
Danke für die Buchempfehlungen. Im Rahmen der Newtonschen Mechanik fordert man also, dass Gleichungen, die physikalische Gesetze beschreiben, kovariant sein sollten, und es geht dann darum zu bestimmen, wie sie sich transformieren (dh ob die Transformation trivial ist oder nicht)?!
Im Grunde ja, das stimmt. Und es gilt allgemein für alle Arten von Symmetrien, ob Galileische, Lorentzsche, Poincaré- oder vollständige allgemeine Kovarianz und Eichkovarianz.
Eine Frage zur galiläischen Invarianz der Newtonschen Gesetze
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v