Elektromagnetische Wellen - komplexe Zahlen

Die Lösung der Wellengleichung für das elektrische Feld lautet allgemein:

E → = E 0 e ich ( k → ⋅ R → − ω T )
Meine Frage bezieht sich auf den komplexen Teil, warum verwenden wir komplexe Zahlen? Warum wird es nicht durch eine Kosinusfunktion ohne Imaginärteil beschrieben? Ist es nur aus Bequemlichkeit, Phasenverschiebungen einfacher zu handhaben? Aus mathematischer Sicht können wir Funktionen mithilfe der Fourier-Analyse beschreiben, Wellen konstruieren, indem wir die Summe von Exponenten mit unterschiedlichen Frequenzen verwenden, aber wie lässt sich das auf eine Welle in der realen Welt anwenden? Es ist etwas, womit ich im Allgemeinen zu kämpfen habe, den Platz zu verstehen, den komplexe Zahlen in der Physik in verschiedenen Themen haben, aber ich sehe, dass sich der Imaginärteil hauptsächlich mit den Phasen befasst, und ich habe mich gefragt, ob er aus demselben Grund hier ist.

Antworten (3)

Das elektrische Feld ist eigentlich eine reale Größe. Die komplexe Notation ist nur ein mathematischer Trick, den wir verwenden, um die Berechnungen zu vereinfachen. Dieser Trick ist in Ordnung, solange wir es mit linearen Systemen zu tun haben, bei denen die Felder mit skalaren Zahlen multipliziert oder zu skalaren Zahlen addiert werden. Sobald wir dieses Regime verlassen und zB Intensitäten berechnen ICH ∝ | E | 2 , sollten wir das elektrische Feld vor der Berechnung in eine reelle Zahl umwandeln. ZB die ebene Welle

E = E 0 e ich ( k X − w T )
würde nachgeben | E | 2 = | E 0 | 2 unabhängig von Position und Zeit, während
| ℜ { E } | 2 = | E 0 | 2 cos 2 ⁡ ( k X − w T )
macht die Schwingungen aus.

Der Grund, warum komplexe Zahlen verwendet werden, um oszillierende Größen in der Physik zu beschreiben, ist eine Mischung aus Bequemlichkeit, Kompaktheit und Allgemeingültigkeit. Es ist normalerweise einfacher, mit komplexen Exponentialen zu rechnen als mit trigonometrischen Funktionen, und es sieht übersichtlicher aus. Es ist auch abstrakter als die Verwendung von Sinus und Cosinus und viel allgemeiner.

Die komplexe Zahlennotation bietet sich natürlich an, um das Schwingungsverhalten der EM-Welle zu beschreiben. Es ist auch praktisch, es in anderen Kontexten wie Akustik zu verwenden, die sich mit Wellenverhalten befassen.

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