Betrachten wir die Verhältnisse zwischen der durchschnittlichen kinetischen Energie (für ein Teilchen) und der Änderung der potentiellen Energie zwischen der Unterseite und der Oberseite unseres Behälters.

$$\frac{K}{\Delta U}=\frac{\frac 32 k_BT}{mgh}$$

Luft besteht aus vielen Arten von Partikeln, aber Stickstoff kommt am häufigsten vor, also lassen Sie uns damit arbeiten. Die Masse einer$\rm N_2$Molekül ist$4.65\times10^{-26}\ \rm{kg}$, und nehmen wir an, die Höhe des Raums beträgt ca$3\ \rm m$. Dann für$T=295 \ \rm K$(ungefähr in der Mitte Ihres Temperaturbereichs) haben wir

$$\frac{\frac 32 k_BT}{mgh}\approx 4.5\times 10^3$$

Die kinetische Energie ist also viel größer als die Potentialdifferenz zwischen Ober- und Unterseite des Raums, weshalb wir sie gerne ignorieren. Sie müssen die potenzielle Energie berücksichtigen, wenn Sie in größere Höhen schauen, wie zum Beispiel bei der Analyse der Atmosphäre.

Hier kommen wir zu einigen der Komplexitäten, wie wir die „Gesamt“-Energie tatsächlich definieren. Was die Schwerkraft betrifft, hängt die Physik nur von Änderungen der potentiellen Energie ab, nicht von ihrem absoluten Wert; wir können der potentiellen Energie eine Konstante hinzufügen und erhalten die gleichen Vorhersagen! Die „potentielle Gesamtenergie“ ist also keine ganz genau definierte Größe.

Soweit es die ideale Gastheorie betrifft, behandeln wir Gasteilchen als starre Kugeln und ignorieren alle intermolekularen Wechselwirkungen. In dieser Näherung ignorieren wir also alle elektromagnetischen Kräfte zwischen Teilchen. (Wenn wir sie hinzufügen wollten, würden wir so etwas wie das Van-der-Waals-Modell erreichen, von dem ich sicher bin, dass es später in dem Buch auftauchen wird, das Sie durcharbeiten, oder eines von vielen anderen !)

Aber was ist mit Gravitationspotentialenergie? Diese ist bis auf eine Konstante definiert, es können aber dennoch Unterschiede in der potentiellen Gravitationsenergie zwischen den beiden Situationen bestehen, weil sich die Verteilung der Luftdichte ändert.

Wie viel?

Da wir von einer einheitlichen Temperatur und einem einheitlichen Gravitationsfeld ausgehen, können wir die Dichteverteilung im hydrostatischen Gleichgewicht berechnen . Im hydrostatischen Gleichgewicht sind Druck und Dichte Funktionen der Höhe, aber wir gehen immer noch davon aus, dass sie durch das ideale Gasgesetz zusammenhängen$mP(z)=\rho(z) k_BT$. Wir haben

$$\frac{dP}{dz}=-\rho(z)g=-\frac{mg}{k_BT}P(z)$$ mit der Lösung $$\rho(z)=\rho_0\exp\left(-\frac{mgz}{k_BT}\right)$$ Wir stellen die Luftdichte auf Bodenhöhe ein,$\rho_0$indem gefordert wird, dass die Gesamtmasse der Partikel im Gas konstant ist: $$\int_\text{room} \rho(z) dV = M$$ Wenn wir davon ausgehen, dass der Raum eine Grundfläche hat$A$und Höhe$h$, das wird $$M=A\int_0^h \rho(z) dz = \frac{A\rho_0 k_B T}{mg}\left(1-\exp\left(-\frac{mgh}{k_BT}\right)\right)$$ Wir können dies neu anordnen, um zu finden$\rho_0$als Funktion der Temperatur: $$\rho_0=\frac{Mmg}{Ak_B T \left(1-\exp\left(-\frac{mgh}{k_BT}\right)\right)}$$

Nachdem wir die Dichte als Funktion der Höhe gefunden haben, können wir die potentielle Energie des Gases berechnen.

Die Gravitationspotential-Energiedichte eines Gasstücks in der Höhe$z$über dem Nullpotential-Energie-Referenzniveau ist gerade$u(z)=\rho(z) g z$. Also die gesamte potentielle Energie des ganzen Raumes

$$U=\int_\text{room} u(z)\,dV=\int_\text{room} \rho(z) g z\thinspace dV=\int_\text{room}gz\rho_0\exp\left(-\frac{mgz}{k_BT}\right)dV$$ und mit unserer Gegend$A$und Höhe$h$, das wird $$U=Ag\rho_0\int_0^h z\exp\left(-\frac{mgz}{k_BT}\right)\,dz$$

Um dies zu berechnen, können wir ein Standardintegralergebnis verwenden:

$$\int_0^h z \exp \left(-\frac{z}{C}\right)=C^2\left(1-\left(1+\frac{h}{C}\right)\exp\left(-\frac{h}{C}\right)\right)$$ die wir verwenden können$C=\frac{k_B T}{mg}$finden (tief einatmen)... $$U=\frac{A \rho_0 k_B T}{m}\cdot\frac{k_B T}{mg}\left(1-\left(1+\frac{mgh}{k_B T}\right)\exp\left(-\frac{mgh}{k_B T}\right)\right)$$

Wir können dies mit unserem früheren Ergebnis für kombinieren$\rho_0$:

$$U=\frac{Mk_B T}{m}\cdot\frac{1-\left(1+\frac{mgh}{k_B T}\right)\exp\left(-\frac{mgh}{k_B T}\right)}{1-\exp\left(-\frac{mgh}{k_BT}\right)}$$

Wenn wir dies leicht neu anordnen, um es aufzuräumen, erhalten wir

$$\begin{align*}U&=\frac{Mk_B T}{m}\cdot\frac{\exp\left(\frac{mgh}{k_B T}\right)-\left(1+\frac{mgh}{k_B T}\right)}{\exp\left(\frac{mgh}{k_BT}\right)-1}\\&=\frac{Mk_B T}{m}\left(1-\frac{mgh}{k_BT}\frac{1}{\exp\left(\frac{mgh}{k_BT}\right)-1}\right)\\&=\frac{Mk_B T}{m}-\frac{Mgh}{\exp\left(\frac{mgh}{k_BT}\right)-1}\\&=Nk_B T - \frac{Nmgh}{\exp\left(\frac{mgh}{k_B T}\right)-1}\end{align*}$$ wobei wir in der letzten Zeile verwendet haben, dass die Gesamtmasse ist$M=Nm$.

Um Ihre Frage zu beantworten, die Gesamtenergie des idealen Gases in einem Raum mit einheitlicher Temperatur$A$und Höhe$z$im hydrostatischen Gleichgewicht wäre (vorausgesetzt, ich habe mich bei der obigen Herleitung nicht geirrt) ...

$$E=\frac{5}{2}Nk_B T - \frac{Nmgh}{\exp\left(\frac{mgh}{k_B T}\right)-1}$$

plus eine Konstante.