Energieerhaltung beim Fokussieren der Strahlung eines schwarzen Körpers auf einen anderen schwarzen Körper

Diese Frage, ob es möglich ist, Schwarzkörperstrahlung so zu fokussieren, dass etwas heißer als die Strahlungsquelle wird, wurde überwiegend negativ beantwortet: Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik und/oder die Tatsache, dass die Etendue nicht reduziert werden kann, werden als Gründe genannt.

Betrachten Sie nun das folgende Szenario:

Nehmen Sie eine unendlich (oder ausreichend) große Platte als Schwarzkörperstrahler auf Temperatur T r . Sie haben eine Stromquelle zur Verfügung, die in der Lage ist, die Temperatur der Platte konstant auf dieser willkürlich gewählten Temperatur zu halten.

Platzieren Sie einen perfekten Parabolspiegel mit seiner Symmetrieachse parallel zur Plattennormalen und öffnen Sie ihn zum Strahler, sodass viel Licht im Brennpunkt fokussiert wird. Wenn Sie nun eine perfekte Schwarzkörperkugel mit Temperatur platzieren T s < T r am Brennpunkt nimmt es die Energie auf und erwärmt sich.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Machen wir eine Netto-Energie-Analyse. Die auf die Kugel auftreffende photonische Energie ist proportional zum geometrischen Querschnitt EIN m des Spiegels: Wenn der Spiegel doppelt so groß ist, sammelt er doppelt so viel Licht und die Kugel absorbiert doppelt so viele Photonen pro Zeiteinheit.

Da die Kugel ein schwarzer Körper ist, sendet sie Photonen in einer Strahlung entsprechend dem Planck-Spektrum aus T s . Soweit ich weiß, hängt die Gesamtenergieabgabe dieser Strahlung nur von Temperatur und Oberfläche ab. Da die Oberfläche konstant ist, T s ist der einzige Parameter.

Im thermischen Gleichgewicht gibt die Kugel so viel Energie ab, wie sie aufnimmt, und das haben wir

E ich n ( EIN m ) = E Ö u t ( T s )

Wir können die linke Seite beliebig groß machen, da wir eine unendlich große Platte haben und wir einen breiteren oder weiter verlängerten Spiegel verwenden können.

Die rechte Seite hat scheinbar eine Grenze: die Energieabgabe der maximal erreichbaren Temperatur E Ö u t ( T r ) . Also, wenn es wirklich stimmt, dass die Kugel nicht heißer werden kann als T r , wo geht die überschüssige Energie hin, wenn E ich n ( EIN m ) > E Ö u t ( T r ) ?

Oder ist das etwas, das niemals passieren kann? Habe ich noch einen anderen Fehler gemacht?

Die Strahlung eines Schwarzkörperstrahlers ist keine parallele Strahlung. Wenn Sie die Strahlung mit einem Kollimator parallel machen würden, würden Sie am Ende eine viel geringere Gesamtintensität erhalten, als durch die Schwarzkörperformel angegeben. Nicht parallele Strahlen hingegen werden durch den Parabolspiegel nicht auf die Kugel fokussiert.
@CuriousOne: Wenn die Strahlung isotrop ist, wird das meiste Licht orthogonal zur Platte abgestrahlt, da p ( θ ) ∝ c Ö s ( θ ) . In meiner Argumentation sind mir die Photonen, die in eine andere Richtung emittiert werden, egal, weil man den Spiegel zum Ausgleich vergrößern kann. Wichtig ist, dass Photonen, die auf die Kugel treffen, entsprechend dem Planck-Spektrum verteilt sind.
Ihre Argumentation basiert auf einem Missverständnis der Lichtmenge, die mit einem Parabolspiegel fokussiert werden kann. Jeder Strahlengang ist vollständig reversibel. Stellen Sie sich eine 1-W-Quelle mit 0,01 m Durchmesser in der Mitte eines 1-m-Spiegels vor. Wie viel Leistung nimmt eine schwarze Platte vor dem Spiegel auf? Machen Sie jetzt diesen Spiegel mit einem Durchmesser von 10 m. Erhöht sich die Leistung um den Faktor 100? Warum nicht? Was bedeutet das für den umgekehrten Lichtweg?
@CuriousOne: In deinem Fall erhöht sich die Leistung nicht um den Faktor 100, da die Kugel in alle Richtungen gleich stark abstrahlt. Die von der Platte aufgenommene Leistungsdichte ist also außen geringer als innen. In meinem Fall ist die Ausgabe der Platte gleichmäßig. Das heißt, die Kugel wird nicht von allen Seiten gleichmäßig bestrahlt. Es könnte also immer noch möglich sein, die Leistungsaufnahme durch Skalierung des Spiegels beliebig zu erhöhen.
Der Lichtweg ist reversibel und kann beliebig berechnet werden. Sie werden sehen, dass der gewünschte Effekt mit Spiegeln nicht zu erreichen ist. Das allgemeine Phänomen wird Etendue genannt und ist im Grunde das Liouville-Theorem für Photonen.
Sie können eine andere Handwelle ausprobieren: Umgeben Sie Ihren Parabolspiegel mit einem perfekten zylindrischen Spiegel bis hin zur Emitteroberfläche des schwarzen Körpers. Jetzt formst du einen perfekten Hohlraum, aus dem keine Energie entweichen kann. Steigt die Temperatur in diesem Hohlraum über die Temperatur der schwarzen Körperoberfläche? Warum sollte es im Brennpunkt des Parabolspiegels aufsteigen?
@CuriousOne: Okay, ich verstehe deinen Punkt. Das Problem scheint die Isotropie zu sein. Dadurch nimmt die auf die Kugel pro Flächeneinheit der Platte auftreffende Lichtmenge mit zunehmender Exzentrizität gegen Null ab und es kann daher eine Grenze geben E ich n ( EIN m ) . Möchtest du eine Antwort posten?
Ja. Hätte man einen "Schwarzkörperlaser" mit nahezu perfekt kollimierter Strahlung, dann würde der Spiegelfokus tatsächlich heißer werden als der Schwarzkörper. Wenn Sie möchten, können Sie die Teile jetzt selbst zusammensetzen. Ich freue mich, wenn ich mit einer intuitiven Herangehensweise in den Kommentaren ein wenig helfen konnte.
Ich glaube, Ihr grundlegendes Missverständnis liegt in der Grenze, die Sie T_r auf die Sphäre setzen. Die Grenze ist kein Gesetz. Es bedeutet nur, dass es bei dieser Temperatur schmilzt und die Geometrie in Bezug auf Absorption und Strahlung zerstört wird, sodass die Relevanz der Energieerhaltung verloren geht.
@annav: Nein, T_rist die Temperatur des Schwarzkörperstrahlers. Wenn wir seine Strahlung nutzen, können wir etwas nicht auf eine höhere Temperatur erhitzen als T_r. deshalb ist es die maximale Temperatur. Sie kann weit unter jeder kritischen Temperatur des Materials liegen.
Wenn man es sich noch einmal ansieht, befindet sich die Kugel, wenn sie ihre maximale Schwarzkörpertemperatur erreicht, wie Sie sagen, begrenzt durch die Wandtemperatur, in einem Strahlungsgleichgewicht mit der Wand, sie ist ein Teil der Wand (den Spiegel ignorieren). Die überschüssige Energie geht dorthin, wo die restliche Energie der Wand hingeht. Nur die Geometrie ist anders.
Die Wege, die die abgestrahlten Photonen nehmen, sind umkehrbar, die in die Kugel einfallenden Strahlen sind auch ausgehend, das sind die Photonen-Zweiwege-Strahlungswege. (Absorption eintretend, Emission austretend).
Meine Antwort hier, insbesondere die Bearbeitung, ist ja, wir können: physical.stackexchange.com/questions/140949/… , indem wir verschiedene Bereiche des strahlenden Körpers mit vielen Spiegeln aufnehmen und auf dieselbe Stelle fokussieren

Antworten (2)

AKTUALISIERT: Ich denke jetzt, dass meine vorherige Antwort falsch war, weil der Aufbau der folgenden Frage entsprechen würde: Ist eine schwarze Körperkugel in einer schwarzen Körperhülle heißer als die Hülle?

Ändern Sie einfach die Frage, um eine sorgfältig gefertigte Linse hinzuzufügen, die die gesamte Strahlung in die Kugel fokussiert (Sie könnten die Hülle so groß machen, wie Sie möchten), was natürlich unmöglich ist, da es sonst gegen das zweite Gesetz verstoßen würde.

Vielen Dank. Das hatte ich vermutet. Jetzt sollte jemand eine Antwort auf die verknüpfte Frage posten.
Dies ist kein zweiter Rechtsverstoß. Natürlich kann man mit einer Cam Dinge über die Temperatur der heißesten Strahlungsquelle erhitzen, aber nicht mit einem Spiegel. Dies ist ein Fall von ettendue: en.wikipedia.org/wiki/Etendue . Das von Photonen besetzte Phasenraum-Volumenelement lässt sich mit optischen Mitteln allein nicht komprimieren.
@CuriousOne kannst du mir einen Link schicken oder mir eine Referenz mit der Demo geben? Aus dem Wikipedia-Artikel ist mir nicht klar, dass die Erhaltung der Etendue verhindert, dass die Kugel heißer wird, da dies nur für Brechungen und Reflexionen gilt und der Lichtweg nicht umkehrbar ist, er wird an der Kugeloberfläche absorbiert. Der Lichtweg ist nicht umkehrbar. Könnten Sie auch darauf hinweisen, was an der Argumentation des ursprünglichen OP falsch ist? Sie könnten Recht haben, aber beweisen Sie es oder senden Sie bitte einen Link zu einem Beweis.
Es ist die Erhaltung der Etendue zusammen mit den Eigenschaften der Schwarzkörperstrahlung. Man kann sich natürlich eine Lichtquelle vorstellen, die ein schwarzes Körperspektrum hat, aber eine viel höhere Intensität (oder eine viel engere Winkelverteilung) als ein schwarzer Körper mit der gleichen Temperatur hätte, aber das kann kein schwarzer Körper sein thermodynamische Gründe.

Ich werde dies aus dem OP beantworten, vorausgesetzt, dass gemäß den Argumenten in den Kommentaren überschüssige Energie vorhanden ist:

Also, wenn es wirklich stimmt, dass die Kugel nicht heißer werden kann als T r , wo geht die überschüssige Energie hin, wenn E ich n ( EIN m ) > E Ö u t ( T r ) ?

Energieerhaltung gilt für ein isoliertes System. Ihr System ist eine unendliche Heizplatte mit einer Anfangstemperatur T r , eine kleine Kugel im Brennpunkt des Parabolspiegels und ein elektromagnetisches Feld, das das Vakuum bedeckt (wo die Massen platziert sind). Das System ist nicht isoliert, wenn man die Temperatur durch Energiezufuhr von außen bei hält T r .

Sehen wir uns an, was passiert, wenn es nur eine Anfangstemperatur gibt T r , ein isoliertes System.

Sie haben das umgebende elektromagnetische Feld ignoriert, es trägt Energie (und dort kann überschüssige Energie gespeichert werden), die zurück in die unendliche Ebene geht, und sie wird im thermodynamischen Prozess des Temperaturausgleichs wieder absorbiert. Das Flugzeug und der Ball werden es tun erreichen eine niedrigere Temperatur als T r .

Wenn Sie eine Quelle betreten, die die Temperatur der unendlichen Ebene festhält, sobald die Temperatur der Kugel und des Spiegels erreicht ist T r , wird jeder Überschuss zunächst im elektromagnetischen Feld gespeichert, wobei kontinuierliche Reflexionen den Pointing-Vektor des elektromagnetischen Felds erhöhen. Bitte beachten Sie, dass das System versucht, die Temperatur des Flugzeugs beizubehalten T r muss es abkühlen, damit es auf diesem Wert bleibt.

Die Moral des Beispiels ist, dass die Energieeinsparung für isolierte Systeme gilt, in diesem Fall muss die Quelle/Senke, die die Temperatur konstant hält, in der Isolierung berücksichtigt werden, damit überschüssige Energie an die Senke abgegeben werden kann.

Energieerhaltung beim Fokussieren der Strahlung eines schwarzen Körpers auf einen anderen schwarzen Körper
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