Erforderliche Energie zum Beschleunigen aus verschiedenen Referenzrahmen

In der speziellen Relativitätstheorie wird der Übergang von einem Frame zum anderen durch die Lorentz-Boosts gegeben. Dies ist nicht ganz dasselbe wie eine Beschleunigung, sondern eine Transformation, die Beobachtungen auf einem Frame mit einem anderen in Beziehung setzt. Wir können uns eine Beschleunigung als eine Folge unendlich kleiner Lorentz-Boosts vorstellen, die einen Frame auf einen anderen abbilden.

Die infinitesimale Entfernung in der flachen Raumzeit$ds$für ein Teilchen ist gegeben durch

$$ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dx^2$$ wo dieser Abstand $ds – cd\tau$, für $\tau$die Zeit, die von einer Uhr am Rahmen des Partikels gemessen wird. Betrachten wir die Bewegung dieses Teilchens in der $x$Richtung. Teile jetzt durch durch $ds^2$zu bekommen $$1 = \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 - \frac{1}{c^2}\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^2.$$ Wir können dies entsprechend der Vierergeschwindigkeit schreiben $U_t = \frac{dt}{d\tau}$, $U_x = \frac{dx}{d\tau}$ $$1 = U_t^2 - U_x^2.$$ Nehmen Sie nun die Ableitung davon in Bezug auf $\tau$so dass $$0 = \left(\frac{dU_t}{d\tau}\right)U_t - \frac{1}{c^2}\left(\frac{dU_x}{d\tau}\right)U_x.$$ Dies führt zu der interessanten Beobachtung, dass in der Raumzeit die Vierer-Beschleunigung senkrecht zur Vierer-Geschwindigkeit steht.

Dieses Gleichungssystem führt zu einer Lösung für die Vierergeschwindigkeit

$$U_t = cosh(g\tau),~U_x = c~sinh(g\tau),$$ für $g$die Beschleunigung. Wir können sehen, dass die Gleichung eine Hyperbel in definiert $t, x$Koordinaten. Für groß $\tau$dass die Hyperbel ungefähr ist $U_t^2 = U_x^2$, und es ist nicht schwer, diese in die zu bekommen $t, x$Koordinaten. Wir können auch sehen, dass die koordinatenbasierte Geschwindigkeit ist $$\frac{dx}{dt} = \frac{U_x}{U_t} = c~tanh(gt),$$ was darauf hindeutet, dass dieses Teilchen asymptotisch mit Lichtgeschwindigkeit ist $\tau\rightarrow\infty$.

Wenn es um Energie geht, berufen wir uns auf das Vier-Impuls-Intervall in der speziellen Relativitätstheorie

$$m^2 = E^2 - p^2$$ Wo $E = mU_t$Und $p = mU_x$sind Energie bzw. räumlicher Impuls. Anhand der Eigenschaften hyperbolischer trigonometrischer Funktionen kann dies gesehen werden. Wir können sofort sehen, dass Energie durch eine hyperbolische Kosinusfunktion gegeben ist, die enorm divergiert als $\tau\rightarrow\infty$.

Das grundlegende Prinzip der Relativitätstheorie (sowohl speziell als auch allgemein) ist, dass die Gesetze der Physik für alle Beobachter gleich sind. Wir drücken dies am natürlichsten aus, indem wir das Prinzip der allgemeinen Kovarianz verwenden, was bedeutet, dass die Gesetze der Physik unter Verwendung von Tensorgrößen (einschließlich Vektor- und Skalargrößen) ausgedrückt werden. Dann können wir die Gesetze der Physik am einfachsten in Bezug auf Eigengrößen verstehen , dh in Bezug auf Eigenschaften, die von einem Beobachter gemessen werden, der sich mit dem zu messenden Objekt bewegt.

Wenn Sie sich im Vergleich zu einem anderen Beobachter sehr schnell bewegen, bewegen Sie sich in Ihrem eigenen Bezugssystem nicht nahe an der Lichtgeschwindigkeit, denn die Lichtgeschwindigkeit ist eine grundlegende Eigenschaft in der Physik und für alle Beobachter gleich. Sie wenden eine angemessene Beschleunigung an, die eine bestimmte Menge an Energie erfordert, aber die Lichtgeschwindigkeit bleibt konstant.

Betrachten Sie es nun aus der Sicht des anderen Beobachters. Er misst Ihre richtigen Mengen nicht direkt, aber wenn er die Gesetze der Physik richtig in Form von Tensoren ausgedrückt hat, kann er Ihre richtige Beschleunigung berechnen, und er kann die Menge an Energie berechnen, die Sie verbraucht haben. Er wird denken, dass Sie sich der Lichtgeschwindigkeit nähern, aber er wird nicht glauben, dass Sie Ihre Geschwindigkeit wesentlich erhöht haben. Die scheinbare Beschleunigung, die er sieht, ist keine richtige Größe, und er führt sich in die Irre, wenn er sie in einer Energieberechnung verwendet, ohne zuerst die entsprechenden richtigen Größen zu berechnen.