Erhaltungsgröße im Satz von Noether unter Verwendung eines Killing-Vektors

Es ist ein langweiliges Plugin, vorausgesetzt, Sie erinnern sich daran, die EL-Bewegungsgleichungen zu verwenden, die Sie übersprungen haben.$\frac{d}{dt} (2G_{ij}\dot{q} ^i)= \partial_j G_{ik} \dot q ^i \dot q ^k$. Ich verwende eine wiederholte Indexsummierungskonvation und nutze die Indexsymmetrie der relevanten Metrik.

Die Killing-Symmetriebedingung ergibt dann

$$\dot q ^i \dot q ^k (\partial_j G_{ik} v^j + 2G_{ij} \partial_k v^j) = 0 .$$

Daraus folgt, dass die Killing-Symmetrieladung erhalten bleibt,

$$\frac{dQ_v}{dt}=\frac{d}{dt}\!(G_{ij}\dot q ^i) ~~v^j + G_{ij}\dot q ^i \dot v ^j \\ = \tfrac{1}{2} \partial_j G_{ik} \dot q ^i \dot q ^k v^j + G_{ij}\dot q ^i \dot q ^k \partial_k v ^j= \frac{\dot q ^i \dot q ^k}{2} ( \partial_j G_{ik} v^j + 2G_{ij} \partial_k v ^j) = 0 ~.$$