Erwartungswert in zweiter Quantisierung

Question

Erwartungswert in zweiter Quantisierung

Physik
Betreiber
Quantenmechanik
zweite Quantisierung

Merlin1896

Ich stecke fest bei der Berechnung eines einfachen Erwartungswerts für einen Operator, der sich in einer zweiten Quantisierung ausdrückt. Ich kenne das Ergebnis, aber ich kann es nicht beweisen.

Nehmen wir an, ich habe eine Ein-Teilchen-Wellenfunktion $|\phi_n\rangle$ gegeben von $|\phi_n\rangle=\sum_{j=1}^K |\alpha_j\rangle A_{j,n}$ , Wo $K$ ist die Anzahl der Orbitale/Stellen im System und die $A_{j,n}$ sind die Wahrscheinlichkeitsamplituden der Orbitale $|\alpha_j\rangle$ . Der Index $n$ kennzeichnet die Teilchen im System, von denen wir haben $N$ .

Die Orbitale sind orthonormal, dh

\sum_{J} A_{J, M}^{*} A_{J, N} = δ_{M, N} .

$\sum_j A_{j,m}^* A_{j,n} = \delta_{m,n}.$

Lassen Sie uns alle Spin-Freiheitsgrade ignorieren. Die Vielteilchenwellenfunktion ist nun gegeben durch

| Ψ ⟩ = (\prod_{N = 1}^{N} \sum_{J = 1}^{K} {\hat{C}}_{J}^{†} A_{J, N}) | vac ⟩,

$|\Psi\rangle = \left(\prod_{n=1}^N \sum_{j=1}^K \hat{c}^\dagger_j A_{j,n}\right) |\text{vac}\rangle,$ bei dem die

{\hat{c}}_{j}^{†}

$\hat{c}^\dagger_j$ ist der übliche Erstellungsoperator vor Ort

j

$j$ .

Was ich jetzt berechnen möchte, ist der Erwartungswert

⟨ Ψ | H_{hüpfen} | Ψ ⟩

$\langle \Psi|H_\text{hop}|\Psi\rangle$ mit

H_{hüpfen} = - T \sum_{J = 1}^{K} {\hat{C}}_{J + 1}^{†} {\hat{C}}_{J} + H . C .

$H_\text{hop}=-t \sum_{j=1}^K \hat{c}^\dagger_{j+1}\hat{c}_j + h.c.$ der übliche hüpfende Hamiltonian. Ich habe das starke Gefühl (und eine Beispielrechnung hat dies unterstützt), dass das Ergebnis gerecht ist

⟨ Ψ | H_{hüpfen} | Ψ ⟩ = - T \sum_{N = 1}^{N} \sum_{J = 1}^{K} (A_{J, N}^{*} A_{J + 1, N} + A_{J + 1, N}^{*} A_{J, N})

$\langle \Psi|H_\text{hop}|\Psi\rangle = -t \sum_{n=1}^N \sum_{j=1}^K ( A_{j,n}^* A_{j+1,n} + A_{j+1,n}^* A_{j,n} )$

Ich denke, dieses Ergebnis hängt trivial mit den Slater-Condon-Regeln zusammen, aber ich sehe die Verbindung nicht. Außerdem verzichte ich darauf, den Erwartungswert explizit zu berechnen, der die Summe und die Produkte der Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren enthält.

Was ist ein guter Weg, um mein Ergebnis zu beweisen?

udrv

Hinweis: Verwenden Sie die CCR-s, die mit dem verknüpft sind

{\hat{c}}_{j}

${\hat c}_j$ -S. Lässt Ihr Rechenbeispiel nicht schon so etwas vermuten?

Merlin1896

Nun, ich wette, ich muss irgendwann die Kommutierungsrelationen verwenden. Aber ich sehe wirklich nicht ein, wie ich zu dem allgemeinen Ergebnis kommen soll. Da das Skalarprodukt linear ist, reicht es sicherlich aus, nur einen Term von zu betrachten

H_{hop}

$H_\text{hop}$ , also kann man vielleicht wlog setzen

j = 1

$j=1$ . Aber dann habe ich noch jede Menge

{\hat{c}}^{†}

$\hat{c}^\dagger$ von dem

| Ψ ⟩

$|\Psi\rangle$ (Slater-Determinanten). Wie gehe ich vor?

Antworten (1)

Erwartungswert in zweiter Quantisierung

Hinweis: Verwenden Sie die CCR-s, die mit dem verknüpft sind ${\hat c}_j$ -S. Lässt Ihr Rechenbeispiel nicht schon so etwas vermuten?
Nun, ich wette, ich muss irgendwann die Kommutierungsrelationen verwenden. Aber ich sehe wirklich nicht ein, wie ich zu dem allgemeinen Ergebnis kommen soll. Da das Skalarprodukt linear ist, reicht es sicherlich aus, nur einen Term von zu betrachten $H_\text{hop}$ , also kann man vielleicht wlog setzen $j=1$ . Aber dann habe ich noch jede Menge $\hat{c}^\dagger$ von dem $|\Psi\rangle$ (Slater-Determinanten). Wie gehe ich vor?

udrv · Answer 1

Zur späteren Bequemlichkeit bezeichnen

{\hat{ϕ}}_{N}^{†} = \sum_{J} A_{J, N} {\hat{C}}_{J}^{†}

${\hat \phi}^\dagger_n = \sum_j{A_{j,n} {\hat c}^\dagger_j}$

{\hat{χ}}_{N}^{†} = \sum_{J} A_{J, N} {\hat{C}}_{J + 1}^{†}

${\hat \chi}^\dagger_n = \sum_j{A_{j,n} {\hat c}^\dagger_{j+1}}$ Der Durchschnitt, den Sie berechnen möchten, lautet dann

⟨ Ψ | {\hat{H}}_{0} | Ψ ⟩ = - T ⟨ 0 | \prod_{N} {\hat{ϕ}}_{N} (\sum_{J} {\hat{C}}_{J + 1}^{†} {\hat{C}}_{J}) \prod_{N} {\hat{ϕ}}_{N}^{†} | 0 ⟩

$\langle \Psi | {\hat H}_0| \Psi \rangle = - t\;\langle 0 | \prod_n{{\hat \phi}_n} \left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right)\prod_n{{\hat \phi}^\dagger_n} |0\rangle$ Beginnend mit den regulären CCRs,

{[{\hat{C}}_{J}, {\hat{C}}_{k}^{†}]}_{\mp} = δ_{J k}, {[{\hat{C}}_{J}, {\hat{C}}_{k}]}_{\mp} = {[{\hat{C}}_{J}^{†}, {\hat{C}}_{k}^{†}]}_{\mp} = 0

$\left[ {\hat c}_j, {\hat c}^\dagger_k \right]_\mp = \delta_{jk},\;\;\;\;\; \left[ {\hat c}_j, {\hat c}_k\right]_\mp = \left[ {\hat c}^\dagger_j, {\hat c}^\dagger_k\right]_\mp = 0$ erhalten

[\sum_{J} {\hat{C}}_{J + 1}^{†} {\hat{C}}_{J}, {\hat{ϕ}}_{N}^{†}] = {\hat{χ}}_{N}^{†}

$\left[ \sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j}, {\hat \phi}^\dagger_n\right] = {\hat \chi}^\dagger_n$ Und

{\hat{ϕ}}_{N}^{†} {\hat{χ}}_{M}^{†} = \pm {\hat{χ}}_{M}^{†} {\hat{ϕ}}_{N}^{†}

${\hat \phi}^\dagger_n {\hat \chi}^\dagger_m = \pm {\hat \chi}^\dagger_m {\hat \phi}^\dagger_n$

{\hat{ϕ}}_{N} {\hat{χ}}_{M}^{†} = \pm {\hat{χ}}_{M}^{†} {\hat{ϕ}}_{N} + \sum_{J} A_{J + 1, N}^{*} A_{J, M}

${\hat \phi}_n {\hat \chi}^\dagger_m = \pm {\hat \chi}^\dagger_m {\hat \phi}_n + \sum_j{A^*_{j+1, n}A_{j,m}}$ Verwenden Sie nun im Durchschnitt, den Sie berechnen müssen, das obige, um sich sukzessive zu bewegen

(\sum_{j} {\hat{c}}_{j + 1}^{†} {\hat{c}}_{j})

$\left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right)$ an den Orbitaloperatoren rechts vorbei:

(\sum_{J} {\hat{C}}_{J + 1}^{†} {\hat{C}}_{J}) \prod_{N} {\hat{ϕ}}_{N}^{†} = {\hat{ϕ}}_{1}^{†} (\sum_{J} {\hat{C}}_{J + 1}^{†} {\hat{C}}_{J}) \prod_{N > 1} {\hat{ϕ}}_{N}^{†} + {\hat{χ}}_{1}^{†} \prod_{N \neq 1} {\hat{ϕ}}_{N}^{†} =

$\left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right)\prod_n{{\hat \phi}^\dagger_n} = {\hat \phi}^\dagger_1 \left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right) \prod_{n>1}{{\hat \phi}^\dagger_n} + {\hat \chi}^\dagger_1 \prod_{n\neq 1} {{\hat \phi}^\dagger_n} =$

= \prod_{M = 1}^{M = 2} {\hat{ϕ}}_{M}^{†} (\sum_{J} {\hat{C}}_{J + 1}^{†} {\hat{C}}_{J}) \prod_{N > 2} {\hat{ϕ}}_{N}^{†} + {\hat{χ}}_{1}^{†} \prod_{N \neq 1} {\hat{ϕ}}_{N}^{†} + {\hat{ϕ}}_{1}^{†} {\hat{χ}}_{2}^{†} \prod_{N > 2} {\hat{ϕ}}_{N}^{†} =

$= \prod_{m=1}^{m=2} {{\hat \phi}^\dagger_m} \left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right) \prod_{n>2}{{\hat \phi}^\dagger_n} + {\hat \chi}^\dagger_1 \prod_{n\neq 1} {{\hat \phi}^\dagger_n} + {\hat \phi}^\dagger_1 {\hat \chi}^\dagger_2 \prod_{n > 2} {{\hat \phi}^\dagger_n} =$

= \prod_{M = 1}^{M = 2} {\hat{ϕ}}_{M}^{†} (\sum_{J} {\hat{C}}_{J + 1}^{†} {\hat{C}}_{J}) \prod_{N > 2} {\hat{ϕ}}_{N}^{†} + {\hat{χ}}_{1}^{†} \prod_{N \neq 1} {\hat{ϕ}}_{N}^{†} \pm {\hat{χ}}_{2}^{†} \prod_{N \neq 2} {\hat{ϕ}}_{N}^{†} = \dots =

$= \prod_{m=1}^{m=2} {\hat \phi}^\dagger_m \left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right) \prod_{n>2}{{\hat \phi}^\dagger_n} + {\hat \chi}^\dagger_1 \prod_{n\neq 1} {{\hat \phi}^\dagger_n} \pm {\hat \chi}^\dagger_2 \prod_{n \neq 2} {{\hat \phi}^\dagger_n} = \dots =$

= \prod_{M} {\hat{ϕ}}_{M}^{†} (\sum_{J} {\hat{C}}_{J + 1}^{†} {\hat{C}}_{J}) + \sum_{M} (\pm 1)^{M - 1} {\hat{χ}}_{M}^{†} \prod_{N \neq M} {\hat{ϕ}}_{N}^{†}

$= \prod_m {{\hat \phi}^\dagger_m} \left(\sum_j{{\hat c}^\dagger_{j+1}{\hat c}_j} \right) + \sum_m{ (\pm 1)^{m-1} {\hat \chi}^\dagger_m \prod_{n \neq m} {{\hat \phi}^\dagger_n}}$ Der erste Term vernichtet das RHS-Vakuum, sodass nur die Summe übrig bleibt. Bringen Sie nun die Orbitaloperatoren auf der linken Seite ein und drehen Sie sie um

{\hat{χ}}_{m}^{†}

${\hat \chi}^\dagger_m$ an ihnen vorbei:

(\prod_{N} {\hat{ϕ}}_{N}) {\hat{χ}}_{M}^{†} = \pm (\prod_{N > 1} {\hat{ϕ}}_{N}) {\hat{χ}}_{M}^{†} {\hat{ϕ}}_{1} + (\prod_{N \neq 1} {\hat{ϕ}}_{N}) \sum_{J} A_{J + 1, 1}^{*} A_{J, M} =

$\left(\prod_n{{\hat \phi}_n}\right) {\hat \chi}^\dagger_m = \pm \left(\prod_{n>1}{{\hat \phi}_n}\right) {\hat \chi}^\dagger_m {\hat \phi}_1 + \left(\prod_{n\neq 1}{{\hat \phi}_n}\right) \sum_j{A^*_{j+1, 1}A_{j,m}} =$

(\prod_{N > 1} {\hat{ϕ}}_{N}) {\hat{χ}}_{M}^{†} \prod_{l = 1}^{l = 2} {\hat{ϕ}}_{l} + (\prod_{N \neq 1} {\hat{ϕ}}_{N}) \sum_{J} A_{J + 1, 1}^{*} A_{J, M} \pm (\prod_{N \neq 2} {\hat{ϕ}}_{N}) \sum_{J} A_{J + 1, 2}^{*} A_{J, M} = \dots =

$\left(\prod_{n>1}{{\hat \phi}_n}\right) {\hat \chi}^\dagger_m \prod_{l=1}^{l=2} {{\hat \phi}_l} + \left(\prod_{n\neq 1}{{\hat \phi}_n}\right) \sum_j{A^*_{j+1, 1}A_{j,m}} \pm \left(\prod_{n\neq 2}{{\hat \phi}_n}\right)\sum_j{A^*_{j+1, 2}A_{j,m}} = \dots =$

= {\hat{χ}}_{M}^{†} (\prod_{N} {\hat{ϕ}}_{N}) + \sum_{l} (\pm 1)^{l - 1} (\prod_{N \neq l} {\hat{ϕ}}_{N}) \sum_{J} A_{J + 1, l}^{*} A_{J, M}

$= {\hat \chi}^\dagger_m \left(\prod_n{{\hat \phi}_n}\right) + \sum_l{(\pm 1)^{l-1}\left(\prod_{n\neq l}{{\hat \phi}_n}\right) \sum_j{A^*_{j+1, l}A_{j,m}} }$ Der erste Term vernichtet nun das linke Vakuum, und nachdem alles ersetzt wurde, wird der gewünschte Durchschnitt

⟨ Ψ | {\hat{H}}_{0} | Ψ ⟩ = - T \sum_{J, l, M} (\pm 1)^{M - 1} (\pm 1)^{l - 1} A_{J + 1, l}^{*} A_{J, M} ⟨ 0 | (\prod_{N \neq l} {\hat{ϕ}}_{N}) (\prod_{N^{'} \neq M} {\hat{ϕ}}_{N^{'}}^{†}) | 0 ⟩ =

$\langle \Psi | {\hat H}_0| \Psi \rangle = - t\;\sum_{j, l,m}{ (\pm 1)^{m-1} (\pm 1)^{l-1} A^*_{j+1, l}A_{j,m} \langle 0 |\left(\prod_{n\neq l}{{\hat \phi}_n}\right)\left( \prod_{n' \neq m} {{\hat \phi}^\dagger_{n'}}\right) |0\rangle } =$

⟨ Ψ | {\hat{H}}_{0} | Ψ ⟩ = - T \sum_{J, l, M} (\pm 1)^{M - 1} (\pm 1)^{l - 1} A_{J + 1, l}^{*} A_{J, M} δ_{l, M}

$\langle \Psi | {\hat H}_0| \Psi \rangle = - t\;\sum_{j, l,m}{ (\pm 1)^{m-1} (\pm 1)^{l-1} A^*_{j+1, l}A_{j,m}\delta_{l,m} }$ und schlussendlich

⟨ Ψ | {\hat{H}}_{0} | Ψ ⟩ = - T \sum_{J, M} A_{J + 1, M}^{*} A_{J, M}

$\langle \Psi | {\hat H}_0| \Psi \rangle = - t\;\sum_{j, m}{ A^*_{j+1, m}A_{j,m} }$ Es mag einige Fehler geben, die ich übersehen habe, aber das ist die allgemeine Idee.

Erwartungswert in zweiter Quantisierung

Merlin1896

udrv

Merlin1896

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udrv

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