Fehlanpassung zwischen unterdämpften und kritisch gedämpften Lösungen

Wenn Sie einen harmonischen Oszillator mit Dämpfung haben$D$(zB Kleinwinkelpendel)

$$\ddot{\theta}+D\dot{\theta} + \theta=0$$

dann bekomme ich die Lösung im unterdämpften Fall ($D^2-4<0$) Ist:

$$\theta=\theta_0e^{-\gamma t}\cos{(\omega t)}$$ Wo $\gamma=\frac{D}{2}$Und $\omega=\frac{1}{2}\sqrt{4-D^2}$, Und $\theta_0$ist die anfängliche Winkelverschiebung. Wir haben die anfängliche Winkelgeschwindigkeit angenommen $\dot{\theta}$ist Null.

Die Lösung, die ich für den kritisch gedämpften Fall bekomme ($D^2-4=0$) Ist:

$$\theta=\theta_0(1+t)e^{-\gamma t}$$

Bußgeld. Nur dass sie nicht passen. Wenn$D^2-4=0$, wird der unterdämpfte Fall$\theta=\theta_0e^{-\gamma t}$was nicht dasselbe ist wie der kritisch gedämpfte Fall.

Wenn das Pendel nahezu kritisch gedämpft ist, scheint die unterdämpfte Gleichung nicht genau zu sein, wie diese Simulation zeigt (unter Verwendung von Runge-Kutta 4. Ordnung):

Wenn die Dämpfung kleiner ist, liegt die unterdämpfte Gleichung näher an der Simulation, aber nicht ganz dort:

Und wenn keine Dämpfung vorhanden ist, ist die resultierende Kosinuswelle genau die gleiche wie die Simulation.

Bedeutet dies also, dass die analytische Lösung für ein unterdämpftes Pendel tatsächlich nur eine Annäherung ist, die nur für eine kleine Dämpfung gültig ist, oder habe ich etwas falsch gemacht?