Finden der Green-Funktion unter Verwendung der Eigenfunktionserweiterungsmethode

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Ich argumentiere mit den obigen Antworten: Sie brauchen die Green-Funktion nicht, um diese Gleichung zu lösen, Sie müssen nur Variablen trennen, indem Sie ein sphärisches Koordinatensystem wie dieses eingeben$\psi(x,\theta,\phi)=R(r)\psi_{ang}(\theta,\phi)$. Danach erhalten Sie zwei separate Funktionsgleichungen$R(r)$Und$\psi_{ang}(\theta,\phi)$: Bessel-Gleichung für$R(r)$, siehe Bessel-Funktionen und Gleichung für Winkel. Die Lösung der zweiten Gleichung wird durch sphärische Harmonische dargestellt .

PS Es ist auch einfacher zu suchen$R(r) = \frac{\chi(x)}{x}$. Dann erhalten Sie genau die Bessel-Gleichung.

Ich glaube nicht, dass Sie die Green-Funktion benötigen, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten. Angesichts der Symmetrie des Problems liegt es nahe, auf Kugelkoordinaten umzusteigen. Dann erhalten Sie einen radialen Teil, der jeweils eine Linearkombination aus einer sphärischen Bessel- und einer Neumann-Funktion ist$l$. Die Randbedingungen und das Verhalten in$0$dann fixiere die Koeffizienten. Siehe zB A. Messiah, Quantum Mechanics I, insbesondere den Teil über Zentralpotentiale und den Anhang.

Die vorgeschlagene Lösung, die im letzten Ausdruck angegeben ist, ist in zylindrischen Koordinaten, was eine unbequeme Wahl für dieses Problem wäre. Wenn die Helmholtz-Gleichung in sphärischen Koordinaten gelöst wird, was für das vorliegende Problem bequemer wäre, erhält man Lösungen, die durch das Produkt von sphärischen Bessel-Funktionen (Bessel-Funktionen mit halbzahligen Indizes), Legendre-Polynomen (mit einem anderen Index) und gegeben sind harmonische Funktionen.

Um das Problem für die Dirichlet-Randbedingung zu lösen [sagen wir$\Psi(r=r_0)=0$] würde man dies dem radialen Teil der Lösung auferlegen, der die sphärische Bessel-Funktion ist. Es gäbe verschiedene Lösungen, weil die sphärische Bessel-Funktion an verschiedenen Stellen Null wird. Diese unterschiedlichen Lösungen stellen unterschiedliche Moden dar, die durch einen zusätzlichen Modalindex unterschieden werden. Addiert man die beiden Modalindizes, die bereits für die Lösungen vorhanden sind, erhält man die drei Indizes, wie sie im ersten Ausdruck angegeben sind.