Könnten Sie angesichts der Dichteverteilung Randbedingungen für das Gravitationspotential angeben?

Jedes Differentialgleichungsproblem besteht aus zwei Teilen: der Differentialgleichung selbst und der Randbedingung. Keiner kann dir den anderen an und für sich sagen. In Betracht ziehen$y'' = -k^2 y$. Ist die Lösung Sinus oder Cosinus? Die Antwort hängt von Randbedingungen ab, und ich muss sie spezifizieren. Ich kann sie nicht erhalten, indem ich etwas in der Gleichung angebe.

Angenommen, Ihre Differentialgleichung ist etwas in der Art von$\nabla^2 \phi = \rho$, Wo$\phi$ist ein potentielles und$\rho$ist irgendeine Quelle. (Ihre tatsächliche Gleichung kann sich in Konstanten davon unterscheiden - aber ich nehme an, Sie lösen trotzdem die Poisson-Gleichung.) Sie benötigen Bedingungen für jede Koordinate, und die Form davon hängt von den verwendeten Koordinaten ab. Wenn Sie zylindrisch oder kugelförmig sind, haben Sie einen gewissen Radius$r$. Normalerweise nehmen Menschen das Potenzial, auf Null zu gehen, an$r \to \infty$, und/oder erfordern dies$\phi$regelmäßig sein$r = 0$. Diese neigen dazu, entweder zu pflücken$r^\ell$oder$r^{-(\ell + 1)}$Lösungen, je nachdem, welche Sie auferlegen. Bei Winkelkoordinaten ist es oft wichtig, die Periodizität beizubehalten, also sollten Sie das sicherstellen$\phi(\theta) = \phi(\theta + 2 \pi)$.