Integrieren der Poisson-Gleichung über zwei verschiedene Regionen, wobei nur zwei Randbedingungen für die Potentiale bekannt sind

Question

Integrieren der Poisson-Gleichung über zwei verschiedene Regionen, wobei nur zwei Randbedingungen für die Potentiale bekannt sind

Sorën

Die Poisson-Gleichung für das elektrische Potential lautet:

\nabla^{2} v = - \frac{ρ}{ϵ}

$\nabla^2 V=-\frac{\rho}{\epsilon}$ Das Lösen der Gleichung erfordert zwei Randbedingungen. Ich bin verwirrt über die Verwendung dieser Randbedingungen in einigen Situationen, wie zum Beispiel den folgenden.

Betrachten Sie zwei Leiterebenen, beide auf Nullpotential ( $V=0$ ). Zwischen den Platten befindet sich ein Bereich mit Ladungsdichte $\rho$ (das graue) und ein anderes ohne Gebühr.

Angenommen, ich muss die Poisson-Gleichung lösen, um das elektrische Potential in der gesamten Region herauszufinden. Das Problem sind die Randbedingungen: Was sind in diesem Fall die Randbedingungen?

Das habe ich doch bestimmt $V(0)=0$ Und $V(2d)=0$ aber das ist nicht genug, da ich das Potential in zwei Teile teilen und die Gleichung in den zwei verschiedenen Regionen integrieren muss.

{\begin{cases} v (0 < X < D) = - \frac{ρ}{ϵ} X^{2} + C_{1} X + C_{2} \\ v (D < X < 2 D) = C_{3} X + C_{4} \end{cases}

$\begin{cases} V(0<x<d)=-\frac{\rho}{\epsilon} x^2+c_1 x+c_2 \\ V(d<x<2d)=c_3x+c_4 \end{cases}$

Eine weitere aufzuerlegende Bedingung könnte sein, dass das Potenzial kontinuierlich sein muss $x=d$ . Die drei Bedingungen gibt

{\begin{cases} C_{2} = 0 \\ C_{4} = - 2 D C_{3} \\ C_{1} + C_{3} = \frac{ρ}{ϵ} D \end{cases}

$\begin{cases} c_2=0 \\ c_4=-2d \,c_3\\c_1+c_3=\frac{\rho}{\epsilon}d \end{cases}$

Aber ich brauche noch eine Bedingung, um die Gleichung zu lösen, und ich sehe nicht, wo ich sie herbekomme.

Wenn die Poisson-Gleichung über zwei verschiedene Regionen gelöst werden muss, wie kann ich im Allgemeinen mit Situationen wie dieser umgehen, in denen ich nur zwei bekannte Potenziale habe, aber eines der Potenziale? $V(d)$ ist "gemeinsam" zwischen den beiden Regionen, aber im Prinzip nicht bekannt?

rsaavedra

Du hast es schon mit der Ableitung von versucht

V

$V$ ? Denken Sie daran, dass es diskontinuierlich ist, wenn an der Schnittstelle zwischen Regionen eine Nettoladung vorhanden ist.

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Integrieren der Poisson-Gleichung über zwei verschiedene Regionen, wobei nur zwei Randbedingungen für die Potentiale bekannt sind

Du hast es schon mit der Ableitung von versucht $V$ ? Denken Sie daran, dass es diskontinuierlich ist, wenn an der Schnittstelle zwischen Regionen eine Nettoladung vorhanden ist.

frei · Answer 1

Die fehlende Beziehung ist die Kontinuität der elektrischen Verschiebung bei $x=d$ was, aufgrund der gleichen $\epsilon$ , ist die Kontinuität des elektrischen Feldes, dh die Kontinuität der Ableitungen der Potentiale $V_{left}$ Und $V_{right}$ bei $x=d$ . Dies ergibt

\frac{\partial v_{l e F T}}{\partial X} |_{X = D} = \frac{\partial v_{R ich G H T}}{\partial X} |_{X = D}

$\frac{\partial V_{left}}{\partial x}|_{x=d}=\frac{\partial V_{right}}{\partial x}|_{x=d}$ was für Ihre Konstanten die fehlende 4. Gleichung ergibt

- 2 \frac{ρ}{ϵ} D + C_{1} = C_{3}

$-2\frac{\rho}{\epsilon} d+c_1= c_3$

Danke für die Antwort! Da gibt es aber eine Gebührenverteilung z $0<x<d$ sollte nicht $E=\frac{\partial V}{\partial x}$ diskontinuierlich sein $x=d$ ?
@Soren - nein, für konstant $\epsilon$ Das elektrische Feld sollte auch bei vorhandener Raumladung kontinuierlich sein, solange Sie keine Oberflächenladung (Flächenladung) haben $\eta$ ) konzentriert auf $x=d$ , was zu einer Diskontinuität führen würde $\epsilon (E_{right}-E_{left}) =\eta$ . Aber das ist offensichtlich nicht der Fall.
Danke noch einmal! Mit „ständig $\epsilon$ „Meinst du das $\epsilon$ hat den gleichen Wert für beide $0<x<d$ Und $d<x<2d$ oder das $\epsilon$ ist eine Konstante für $0<x<d$ aber es kann anders sein für $d<x<2d$ ? Und wenn drin $0<x<d$ es gibt ein geladenes Dielektrikum mit Konstante $\epsilon$ und für $d<x<2d$ es herrscht Vakuum mit Konstante $\epsilon_0$ , Und $\epsilon \neq \epsilon_0$ , wäre das elektrische Feld in diskontinuierlich $x=d$ ?
@Soren - Die elektrische Feldkontinuität gilt, wenn $\epsilon$ ist überall gleich. Im Allgemeinen haben Sie eine Kontinuität der elektrischen Verschiebung $\epsilon E$ . Wenn Sie ein geladenes Dielektrikum mit absoluter Permittivität haben $\epsilon$ links und Vakuum mit $\epsilon_0$ richtig, das würde dir bei geben $x=d$ die Bedingung $\epsilon E_{left}=\epsilon_0 E_{right}$ .

Integrieren der Poisson-Gleichung über zwei verschiedene Regionen, wobei nur zwei Randbedingungen für die Potentiale bekannt sind

Sorën

rsaavedra

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frei

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frei

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frei

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