Potenzial innerhalb des leitenden Würfels

Ein würfelförmiger Kasten mit der Seitenlänge L besteht aus sechs Metallplatten. Fünf Seiten der Schachtel {die Platten an X = 0 , X = L , j = 0 , j = L , z = 0 - sind geerdet. Die Oberseite der Box (bei z = L) besteht aus einem separaten Metallblech, das von den anderen isoliert ist und auf einem konstanten Potential gehalten wird v 0 . Finden Sie das Potenzial in der Box.

Ich versuche, dieses Problem mit Legendre-Polynomen einzurichten. Da der obere Teil geerdet ist, wirkt sich dies auf den "potenziellen" Bereich aus, den ich einnehmen kann, und ich bin mir nicht sicher, wie ich ihn einrichten soll.

Ich habe das Laplace wie folgt eingerichtet:

1 X D 2 X D X 2 + 1 j D 2 j D j 2 + 1 z D 2 z D z 2 = 0

Wobei muss an dieser Stelle jede Komponente gleich einer Konstante sein?

was gibt k X 2 + k j 2 + k z 2 = 0

1 X D 2 X D X 2 = k X 2

1 j D 2 j D j 2 = k j 2

1 z D 2 z D z 2 = k z 2

wobei z gegeben ist durch: Z ( z ) = S ich N H ( k z z )

aber wie löse ich an dieser Stelle die Koeffizienten?

Oder sollte ich die allgemeine Form verwenden und Koeffizienten finden:

X = A C Ö S ( k θ ) + B S ich N ( k θ )

j = C C Ö S ( M ϕ ) + D S ich N ( M ϕ )

z = E e ( k 2 + M 2 ) .5 z + F e − ( k 2 + M 2 ) .5 z

Ich stecke fest, um die Koeffizienten mit dieser Methode zu finden.

Antworten (3)

Dies ist ein ziemlich einfaches Problem. Solche Probleme werden am besten mit dem Ansatzansatz angegangen - das heißt zu versuchen, die Form der Lösung zu erraten, und wenn Ihre Vermutung für die Lösung sowohl die Laplace-Gleichung als auch die Randbedingungen erfüllt, garantiert der Eindeutigkeitssatz, dass Sie DIE Lösung gefunden haben. Nun zu Ihrem Problem, die Null-Randbedingungen für x und y erinnern an stehende Wellen mit Knoten an beiden Enden. Wir können also die x- und y-Abhängigkeiten erraten S ich N M π X L Und S ich N N π j L bzw. Deine Meinung k X 2 + k j 2 + k z 2 = 0 sieht nicht richtig aus, da die Summe von drei positiven reellen Nrn. kann nicht Null sein. Vielmehr hätten Sie

− ( M π L ) 2 − ( N π L ) 2 + A z = 0
. Da das Vorzeichen der Konstanten in den Gleichungen für ' X ' Und ' Y ' sind negativ, die Konstante für die ' Z ' Differentialgleichung wäre automatisch positiv. Dies würde wiederum auf hyperbolische Sinus- oder Kosinusfunktionen hinweisen, da diese Funktionen die Lösungen der Differentialgleichung mit positivem Wert für den Koeffizienten sind. Die Randbedingung Null bei z = 0 zeigt an, dass nur die hyperbolische Sinusfunktion eine Rolle spielen wird. Die vollständige Lösung wäre somit gegeben durch
ϕ ( X , j , z ) = ∑ M , N = 1 ∞ C M , N S ich N M π X L S ich N N π j L S ich N H ( M 2 + N 2 ) π z L
. Die Koeffizienten C M , N kann durch Anwendung der Randbedingung at bestimmt werden z = L und Verwenden der Orthogonalitätsbeziehungen für die Sinusfunktionen.

Sie müssen die Laplace-Gleichung mit den gegebenen Randbedingungen lösen. In kartesischen Koordinaten hat die Lösung die Form V = X(x)Y(y)Z(z).

Die grundlegenden Schritte:

  1. Schreiben Sie das Potenzial auf v ( X , j , z ) als Reihe von Produkten geeigneter orthogonaler Funktionen. Oft verwendet man orthogonale Funktionen, die aus der Lösung der Laplace-Gleichung durch Trennung der Variablen entstehen.

  2. Legen Sie die Randbedingungen fest (es gibt sechs davon), um die Koeffizienten in der Reihenentwicklung aufzulösen. Zum Beispiel die z = L Randbedingung wäre

    v ( X , j , L ) = v 0
    Alle "geerdeten" Seiten sind auf Nullpotential; das ist nur die mathematische Definition des Begriffs „geerdet“. Also zum Beispiel bei z = 0 du würdest haben
    v ( X , j , 0 ) = 0

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