Wie setze ich die Zeit richtig in diese Gleichung ein?

Question

Wie setze ich die Zeit richtig in diese Gleichung ein?

Zachary F

In den letzten Jahren war es also mein Ziel, eine Gleichung zu erstellen, die mir die Position eines Objekts in einem Gravitationsfeld zu einem bestimmten Zeitpunkt liefert $t$ , gegeben seine Anfangsposition und Geschwindigkeit. Am Anfang war das Problem, dass ich nicht genug wusste, um zu rechnen. Jetzt, da ich Multivariable berechnen kann, dachte ich, dass dieses Problem gelöst wäre, aber ich bin gerade auf ein neues Problem gestoßen. Bitte sagen Sie mir nicht, wie ich es lösen soll, aber wenn Sie mir einen Hinweis geben könnten, wäre das großartig. Hier ist der Aufbau für das Problem:

Ein Planet der Masse $M$ (und Radius = 0) liegt im Ursprung. Ich weiß, dass die Größe der Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft ist

\frac{G M}{R^{2}}

$\frac{GM}{r^2}$ also ein Objekt an

(x, y)

$(x,y)$ wird Beschleunigung haben

A (X, j) = \frac{G M}{X^{2} + j^{2}},

$a(x,y)= \frac{GM}{x^2+y^2},$ oder als Vektor

\vec{A} (X, j) = ⟨ \frac{G M}{X^{2} + j^{2}} \cos θ, \frac{G M}{X^{2} + j^{2}} Sünde θ ⟩

$\overrightarrow{a}(x,y)= \left\langle \frac{GM}{x^2+y^2}\cos\theta, \frac{GM}{x^2+y^2}\sin\theta\right\rangle$

= ⟨ \frac{G M}{X^{2} + j^{2}} \frac{X}{\sqrt{X^{2} + j^{2}}}, \frac{G M}{X^{2} + j^{2}} \frac{j}{\sqrt{X^{2} + j^{2}}} ⟩

$= \left\langle \frac{GM}{x^2+y^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{GM}{x^2+y^2}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right\rangle$

= ⟨ \frac{G M X}{(X^{2} + j^{2})^{3 / 2}}, \frac{G M j}{(X^{2} + j^{2})^{3 / 2}} ⟩

$= \left\langle \frac{GMx}{(x^2+y^2)^{3/2}}, \frac{GMy}{(x^2+y^2)^{3/2}}\right\rangle$

Hier stecke ich also fest. Ich kann mich in Bezug auf Entfernung integrieren und bekommen

W (X, j) = ⟨ - \frac{G M}{\sqrt{X^{2} + j^{2}}}, - \frac{G M}{\sqrt{X^{2} + j^{2}}} ⟩

$W(x,y) = \left\langle -\frac{GM}{\sqrt{x^2+y^2}}, -\frac{GM}{\sqrt {x^2+y^2}}\right\rangle$

was meiner Meinung nach ein Vektor ist, dessen Größe die geleistete Arbeit ist, aber das sagt mir nichts über die Zeit. Ich kann das zeitlich integrieren, aber das würde geben

F (X, j) = ⟨ \frac{G M X}{(X^{2} + j^{2})^{3 / 2}} T, \frac{G M j}{(X^{2} + j^{2})^{3 / 2}} T ⟩

$f(x,y)= \left\langle \frac{GMx}{(x^2+y^2)^{3/2}}t, \frac{GMy}{(x^2+y^2)^{3/2}}t\right\rangle$

was ... ich meine, ist bestenfalls naiv. Es berücksichtigt nicht die Positionsänderung, die im Laufe der Zeit auftritt. Das einzige, was mir einfällt, ist, irgendwie parametrische Gleichungen zu finden, wo $x$ Und $y$ sind Funktionen von $t$ , aber das ist im Grunde das, was ich sowieso versuche.

Irgendwelche Ideen? Ich möchte eine Gleichung finden, in der ich einen Ort und eine Geschwindigkeit eingeben kann, und die Gleichung sagt mir, welchen Weg das Objekt nehmen wird. Ist das überhaupt möglich?

Floris

Die Umlaufbahn eines Objekts in einem Gravitationsfeld ist ein "Kegel". Das heißt, es kann eine Ellipse (geschlossene Umlaufbahn), Parabel oder Hyperbel sein (abhängig von den Anfangsbedingungen der Bewegung). Es ist definitiv möglich. Google „Vis viva-Gleichung“ für weitere Hilfe.

ACuriousMind

Nun, nehmen Sie Ihre Gravitationskraft

F (\vec{r})

$F(\vec r)$ und löse die Differentialgleichung

F (\vec{r}) = m \ddot{\vec{r}}

$F(\vec r) = m \ddot{\vec r}$ . Es gibt in der Newtonschen Mechanik wirklich nichts weiter zu finden, als Trajektorien zu finden, außer der rechnerischen Herausforderung, die Gleichung zu lösen.

Zachary F

Also wäre r⃗ in diesem Fall GM/r^2?

Floris

@ZacharyF - nein,

\ddot{\vec{r}} = \frac{G M \vec{r}}{r^{3}}

$\ddot{\vec{r}} = \frac{GM\vec{r}}{r^3}$

Zachary F

Wo kommt das her?

Antworten (4)

Wie setze ich die Zeit richtig in diese Gleichung ein?

Die Umlaufbahn eines Objekts in einem Gravitationsfeld ist ein "Kegel". Das heißt, es kann eine Ellipse (geschlossene Umlaufbahn), Parabel oder Hyperbel sein (abhängig von den Anfangsbedingungen der Bewegung). Es ist definitiv möglich. Google „Vis viva-Gleichung“ für weitere Hilfe.
Nun, nehmen Sie Ihre Gravitationskraft $F(\vec r)$ und löse die Differentialgleichung $F(\vec r) = m \ddot{\vec r}$ . Es gibt in der Newtonschen Mechanik wirklich nichts weiter zu finden, als Trajektorien zu finden, außer der rechnerischen Herausforderung, die Gleichung zu lösen.

Alfred Centauri · Answer 1

aber wenn du mir einen tipp geben könntest wäre das super.

Da die Kraft nur vom radialen Abstand abhängt und in Richtung des Ursprungs zeigt, ist der Drehimpuls (angenommen entlang der $z$ Achse) bleibt erhalten. Dies legt nahe, dass die geeigneten Koordinaten die sphärischen Polarkoordinaten sind $(r, \phi)$ Wo

X = R \cos ϕ

$x = r \cos \phi$

j = R Sünde ϕ

$y = r \sin \phi$

In diesen Koordinaten liegt der Drehimpuls

l = M R^{2} \dot{ϕ} = C Ö N S T A N T

$l = mr^2\dot \phi = \mathrm{constant}$

Die radiale Bewegungsgleichung lautet

M \ddot{R} = M R {\dot{ϕ}}^{2} - \frac{G M M}{R^{2}}

$m\ddot r = mr\dot \phi^2 - \frac{GMm}{r^2}$

Kannst du es von hier nehmen?

Kyle Kanos · Answer 2

Ich kann das zeitlich integrieren, aber das würde geben
$F (X, j) = ⟨ \frac{G M X}{(X^{2} + j^{2})^{3 / 2}} T, \frac{G M j}{(X^{2} + j^{2})^{3 / 2}} T ⟩$ $f(x,y)= \left\langle \frac{GMx}{(x^2+y^2)^{3/2}}t, \frac{GMy}{(x^2+y^2)^{3/2}}t\right\rangle$

Nein, tut es nicht, weil beides $x$ Und $y$ sind Funktionen der Zeit, daher können Sie diese Methode der "einfachen Integration" nicht verwenden. Was Sie tun müssen, ist zurück zur Differentialgleichung zu gehen,

\begin{matrix} (1) & M \ddot{R} = - \frac{G M M}{R^{2}} \hat{R}, \end{matrix}

$m\ddot{\mathbf r}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{\mathbf r},\tag{1}$ und löse es auf

r (t)

$r(t)$ . Hier verwenden wir die Notation, das heißt

\ddot{z} = d^{2} z / d t^{2}

$\ddot{z}=d^2z/dt^2$ Und

\dot{z} = d z / d t

$\dot z=dz/dt$ für eine generische Funktion

z

$z$ . Bei der Verwendung von Vektoren in nichtkartesischen Koordinaten (z. B. Zylinderkoordinaten ) wird es etwas komplizierter, da die Einheitsvektoren selbst zeitvariabel sind. Um (1) zu lösen, müssen Sie einige Tricks kennen (z. B. beide Seiten mit multiplizieren).

\dot{r}

$\dot{r}$ und dann in Bezug auf die Zeit integrieren), aber es kann getan werden.

Ich schlage vor, dies in einer Richtung zu lösen, bevor Sie es zuerst in zwei Dimensionen versuchen (z $r$ Richtung vor der $x,\,y$ Richtungen). Wenn Sie es auf diese Weise lösen, wird Ihnen die Methode gezeigt (die ziemlich kompliziert ist), es mit der 2. Dimension zu tun, wird ein bisschen einfacher sein (da Sie die Erfahrung haben) - aber es ist auch immer noch ziemlich kompliziert.

Beachten Sie auch, dass die rechte Seite von (1) die Definition von ist $\mathbf g$ , die Erdbeschleunigung:

G = - \frac{G M}{R^{2}} \hat{R} .

$\mathbf g=-\frac{GM}{r^2}\hat{\mathbf r}.$ (1) ist also wirklich

m a \equiv m \ddot{r} \equiv F = m g

$m\mathbf a\equiv m\ddot{\mathbf r}\equiv\mathbf F=m\mathbf g$ .

Hier ein paar kleine Probleme. Dieser Ansatz funktioniert, wenn die Bewegung eindimensional ist, dh das Objekt sich in einer geraden Linie bewegt. Auch dann brauchen Sie ein Minuszeichen. Besser (vielleicht): $\ddot{\vec{r}} = -\left(GMm/|\vec{r}|^2\right)\hat{r}$ . In jedem Fall ist dies ein schwieriges Problem für einen Anfänger.
@garyp: Hoppla! Ich habe das Minuszeichen vernachlässigt. Ich denke, es zuerst in 1D zu lösen , ist ein besserer Ansatz, als es direkt in 2D zu tun (so wie es Timaeus vorschlägt).
Einverstanden. Das muss der OP dann beachten $r$ ist einfach ein Abstand oder eine Koordinate, obwohl wir normalerweise die Variable " $r$ " in zwei oder drei Dimensionen ... keine Winkel, überhaupt keine Vektoren in einer Dimension.
Schöne Bearbeitung. Ich möchte Zachary warnen, dass das zweidimensionale Problem mehr als doppelt so schwierig ist wie das eindimensionale Problem. Meiner Meinung nach.
$m\ddot{\mathbf r}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{\mathbf r}$ ist gut, aber $\ddot{r}=d^2r/dt^2$ Und $\dot r=dr/dt$ (ohne die Vektoren) ist problematisch. In einem Kreis $r(t)=const$ , aber die Beschleunigung ist radial nach innen, ungleich Null. Sie wollen also nicht verwirren $\ddot{\mathbf r}=d^2\mathbf r/dt^2$ Und $\ddot{r}=d^2r/dt^2$ .
Facepalm Richtig! Ich habe vergessen, dass x und y Funktionen von t sind. Wie gesagt, bestenfalls naiv.
@Timaeus: Ich wollte hauptsächlich die zeitliche Ableitungsreihenfolge angeben, nicht die bestimmte Vektorgleichung. Ich werde entsprechend aktualisieren.

Timäus · Answer 3

Sie haben eine Beschleunigung, die eine zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit ist. Das Integrieren der Beschleunigung in Bezug auf den Abstand erzeugt keinen Arbeitsvektor. Sie können die potentielle Energie finden $U(x,y)=GMm/r$ die die Eigenschaft hat, dass ihr Gradient das Kraftfeld ist. Aber die potentielle Energie ist ein Skalar, kein Vektor.

Ihr Integral über die Zeit ist nicht korrekt, $x=x(t)$ Und $y=y(t)$ sind keine Konstanten in der Zeit, und du hast sie so behandelt, wie sie es waren.

Wenn Sie sich mit Kalkül mit mehreren Variablen, aber noch nicht mit Differentialgleichungen beschäftigt haben, dann studieren Sie Differentialgleichungen.

Beginnen Sie auch zuerst mit Bewegung in einer Dimension (dh lösen Sie ein 1d-Problem), nur weil es einfacher ist. Nachdem ihr das leicht tun könnt, dann geht zu höheren Dimensionen.

Benutzer12029 · Answer 4

Leider ist multivariable Kalkül nicht ganz genug! Ihr Ziel ist es, ein nichtlineares System gewöhnlicher Differentialgleichungen zu lösen, und das ist ein hohes Ziel.

Wie auch immer, es gibt Lösungen dafür. Sehen Sie hier ein Beispiel einer Implementierung (Disclaimer: It's mine): http://mathandcode.com/kepler/

Die nützlichsten Referenzen, die ich dafür gefunden habe, waren die Bücher Mathematical Methods of Classical Mechanics von Arnold, Mechanics by Landau and Lifshitz und Classical Mechanics von Goldstein. Jeder von ihnen hat eine Lösung für dieses Problem - das "Kepler-Problem" genannt. Die Lösungsskizze sieht ungefähr so aus:

Gehen Sie von einer Differentialgleichung in zwei Variablen aus $(x(t),y(t))$ zu einer Differentialgleichung in $r=\sqrt{x^2+y^2}$ nur unter Verwendung des Konzepts eines "effektiven Potenzials".
"Lösen" Sie diese Differentialgleichung, indem Sie die Erhaltung des Drehimpulses missbrauchen (womit Sie wissen $\dot{\varphi}$ ), Energieerhaltung (womit man die Menge findet $\dot{r}^2+r^2 \dot{\varphi}^2$ ) und eine geschickte Änderung der Variablen vornehmen, damit Sie finden $r$ als Funktion von $\varphi$ statt als Funktion der Zeit.
Setze die Gleichung für ein $r(\varphi)$ (was sich als die Gleichung einer Ellipse herausstellt - der Form $\frac{p}{1+e \cos \varphi}$ für Konstanten $p$ Und $e$ genannt Parameter und Exzentrizität bzw.) in die Definition des Drehimpulses, die besagt $r^2 \dot{\varphi}$ wird konserviert und gibt Ihnen daher $\dot{\varphi}$
Verwenden Sie den Trick der Trennung von Variablen (der einfachste ODE-Trick!), um zu finden $\varphi(t)$ in Bezug auf ein Integral. VIELLEICHT kann dieses Integral dann in Bezug auf spezielle Funktionen ausgewertet werden.

Wenn das alles Griechisch für Sie ist, empfehle ich Ihnen, ein Buch über Mechanik zu kaufen (Meine Favoriten sind Mathematische Methoden der klassischen Mechanik von Arnold, ergänzt durch The Theoretical Minimum [non-quantum] von Sussking und Hrabovsky).

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Arbeit, die von einem stationären Objekt in einem Gravitationsfeld "auf der Erde" ausgeführt wird [Duplikat]

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Ich habe ein Problem damit, absolute Gravitationspotentialenergie zu verstehen?

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Ist meine Herleitung der Potentialformel m∗g∗hm∗g∗hmgh richtig?

Erhalten Sie 2 verschiedene Antworten, wenn Sie die Federkonstante kkk finden, wenn die Schwerkraft beteiligt ist

Gravitationspotentialenergie, definiert in Bezug auf Arbeit

Gravitationsbindungsenergie und integrierte potentielle Energie nicht gleich?

Könnten Sie angesichts der Dichteverteilung Randbedingungen für das Gravitationspotential angeben?

Paradox – Objekt, das parallel zum Boden geworfen wird, wird niemals herunterfallen