Gravitationsbindungsenergie und integrierte potentielle Energie nicht gleich?

Bevor ich die Formel für die Gravitationsbindungsenergie einer gleichförmigen Kugel nachschlug, stellte ich mir einfach vor, dass die allgemeine Formel für die Bindungsenergie einer willkürlich geformten Massenverteilung lauten würde ⟨ v , ρ ⟩ , Wo v ist das Potenzial als Funktion des Raums aufgrund der Verteilung, ρ ist die Dichteverteilung als Funktion des Raums, und ⟨ , ⟩ ist das Skalarprodukt (dh integral über allen Raum).

Weiter geht es mit dem Spezialfall einer gleichförmigen Dichtekugel ρ und Radius R , habe ich das bekannte Ergebnis für das Potential innerhalb einer Kugel gleicher Dichte verwendet,

v ( R ) = 2 3 π G ρ ( R 2 − 3 R 2 )  für  R ≤ R .
Ich habe dann das Skalarprodukt berechnet,
⟨ v , ρ ⟩ = ∫ 0 R R 2 D R ∫ 0 π Sünde ( θ ) D θ ∫ 0 2 π D ϕ v ( R ) ρ = − 32 15 G π 2 R 5 ρ 2 = − 6 G M 2 5 R ,
was das doppelte richtige Ergebnis ist, − 3 G M 2 5 R . (Die letzte Gleichheit folgt aus ρ = M 4 / 3 π R 3 ).

Ich verstehe den geometrischen Beweis, dass die Bindungsenergie einer Kugel entspricht − 3 G M 2 5 R Das geht durch sukzessives Bewegen von Muscheln aus dem Unendlichen, war aber etwas verwirrt, als der innere Produktansatz einen zusätzlichen Faktor von 2 ergab. Meine Frage lautet wie folgt:

  • Ist der zusätzliche Faktor von zwei in ⟨ v , ρ ⟩ durch Doppelzählung der Wechselwirkungsenergien?
  • Wenn ja, ist die richtige Formel für die Bindungsenergie einer beliebigen Massenverteilung U = 1 2 ⟨ v , ρ ⟩ ?

Ich versuche, die Gesamtenergie abzuschätzen, die freigesetzt wird, wenn zwei Planeten, die sich gerade so berühren, zu einer einzigen großen Kugel zusammenbrechen, und im Laufe der Ableitung tauchte dieses Problem auf. Jede Hilfe, die den zusätzlichen Faktor 2 erklärt, wäre sehr willkommen!

Antworten (1)

Sie haben Recht, dass der Faktor von 1 2 stammt von Doppelzählungen. Um dies zu sehen, nehmen wir an, wir haben zwei Objekte A Und B , mit Dichten ρ A Und ρ B so dass die Gesamtdichte ist ρ . Das Potenzial v ist eine Summe des Potentials v A vom Objekt A Und v B vom Objekt B . Lassen Sie uns nun die Energie mit Ihrer Formel auswerten. Wir bekommen

E = ⟨ ρ , v ⟩ = ⟨ ρ A + ρ B , v A + v B ⟩ = ⟨ ρ A , v A ⟩ + ⟨ ρ A , v B ⟩ + ⟨ ρ B , v A ⟩ + ⟨ ρ B , v B ⟩

Jetzt ⟨ ρ A , v A ⟩ Und ⟨ ρ B , v B ⟩ sind die gravitativen Selbstenergien für Objekte A Und B (nach deiner Formel müsste es eigentlich ein halber Faktor sein). Auch die Bedingungen ⟨ ρ A , v B ⟩ Und ⟨ ρ B , v A ⟩ sind gleich, im Grunde weil die ∇ 2 Operator ist symmetrisch.

Nun fragen wir, was passiert, wenn wir mit Objekt beginnen A und Gegenstand bringen B aus der Unendlichkeit? Am Objekt wird nicht gearbeitet A da es sich nicht bewegt. Die am Objekt geleistete Arbeit B Ist ⟨ ρ B , v A ⟩ . Ihre Formel sagt jedoch das Doppelte dieser Energieänderung voraus, weil Sie beides haben ⟨ ρ A , v B ⟩ Und ⟨ ρ B , v A ⟩ . Genau das ist die Manifestation der Doppelzählung. Dieses Problem wird durch den Faktor gelöst 1 2 .

Tatsächlich kam der Faktor 1/2 heraus, als ich die Selbstenergie einer einzelnen Kugel berechnete, nicht zwei interagierender. Aber im Grunde sagen Sie, dass die Formel für gravitative Eigenenergie immer 1/2*<V,rho> ist? Danke für die Antwort BTW.
Ich habe versucht, Sie davon zu überzeugen, dass Sie doppelt zählen, wenn Sie keinen Faktor von der Hälfte haben. Ihre einzelne Sphäre kann in zwei Halbsphären aufgeteilt werden, die Sie kennen. Eine andere Art, es auszudrücken, ist, sich die Arbeit vorzustellen, die erforderlich ist, um die Ladung zu erhöhen 0 Zu ρ 0 . Die Energie ist E = ∫ D E = ∫ ⟨ v , D ρ ⟩ = ∫ ⟨ ∇ − 2 ρ , D ρ ⟩ = ∫ 0 1 ⟨ ∇ − 2 a ρ 0 , D a ρ 0 ⟩ = ⟨ ∇ − 2 ρ 0 , ρ 0 ⟩ ∫ 0 1 a D a = 1 2 ⟨ v , ρ 0 ⟩
Interessant. Ich glaube, ich verstehe es jetzt. Und wenn du das sagst ∇ 2 Operator symmetrisch ist, meinen Sie, es ist ein selbstadjungierter Operator, und wir können ihn daher von einer Seite des inneren Produkts zur anderen verschieben, um die Äquivalenz der Kreuzterme zu erhalten?
ja das meinte ich
Gravitationsbindungsenergie und integrierte potentielle Energie nicht gleich?
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