Meine gesamte potenzielle Energie?

Die potentielle Energie in einem uniformierten Gravitationsfeld ist M G ⋅ Δ H . Das setzt natürlich voraus G ändert sich nicht und gibt nur die Differenz der potentiellen Energie für an Δ H .

Wie kann ich meine potentielle Gesamtenergie berechnen , sagen wir relativ zum Massenmittelpunkt der Erde? Mit anderen Worten, gibt es einen Ausdruck für ∫ 0 H M G H , Wo H ist ein Platzhalter für jeden Höhenwert und G ist ein Platzhalter für die lokale Erdbeschleunigung für H ?

Richtig, und auch für unterschiedliche Höhen. Zum Beispiel meine gesamte potentielle Energie in Bezug auf den Masseschwerpunkt der Erde.
In der Tat, vermuten wir G als Konstante, weil sich seine Anziehungskraft in kleinen Entfernungen von der Erde nicht so stark ändert. Andernfalls sollten wir, um die potentielle Energie zu erhalten, die Hauptbeziehung verwenden, G M 1 M E / R 2 , und dann integrieren. Oder v = − G M 1 M E / R Wo M E ist die Masse der Erde.
Nach diesem Ausdruck, als R wird größer, v kleiner wird. Hmm…?
Es ist besser, es so zu interpretieren: M G Δ H gibt die Potentialdifferenz an; andererseits Δ v = G M 1 M E ( 1 R ich − 1 R F ) Wo R ich Und R F sind Anfangs- und Endpunkt. Jetzt zunehmend Δ H ist gleichbedeutend mit einer Erhöhung R F oder abnehmend 1 R F was wiederum einer Erhöhung gleichkommt Δ v . Beachten Sie das in M G Δ H , liegt der Ursprung des Potentials auf der Erde, aber in der anderen Formel liegt der Ursprung im Unendlichen.
Das beantwortet aber nicht meinen Einwand.
v tendiert gegen Null als R wird größer, aber was ist falsch daran?
Meine potentielle Energie kann mit zunehmender Höhe nicht abnehmen, oder?
Möglicherweise fehlt das Minuszeichen davor. Als R wird größer, also auch v . Es wird einfach größer, indem es sich Null nähert.
Entschuldigung, ich korrigiere mich. Das Minuszeichen wirft für mich jedoch mehr Fragen auf, als es beantwortet. Die Energie eines Objekts kann nicht negativ sein, es sei denn, wir sprechen von negativer Energie, die in Gravitationsfeldern und im Raum "gespeichert" ist.

Antworten (2)

Es kann hilfreich sein: Angenommen, wir befinden uns in der Nähe der Erde und in der Höhe H . So

Δ v = G M 1 M E ( 1 R − 1 R + H )
Wo R ist der Radius der Erde und H ≪ R . Jetzt approximieren wir diese Beziehung und es stellt sich heraus

Δ v = G M 1 M E ( 1 R − 1 R + H R 2 )

Durch Anruf G = G M E R 2 , wir finden Δ v = M 1 G H . Auch wenn wir nicht approximieren, ist aus der ersten Gleichung ersichtlich, dass durch Erhöhen H , Δ v wird steigen.

Funktioniert nicht für negativ H .

Wenn wir die Form der Erde als perfekte Kugel einschätzen (was sie nicht ist, aber in erster Näherung tun wird), dann können Sie das Schalentheorem anwenden . Sie besagt, dass das Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischen Körpers so erscheint, als wäre es im Massenmittelpunkt des Körpers konzentriert. Wissen, wie viel die Erde wiegt ( 5,97219 × 10 24 k G ), können Sie das Gravitationspotential aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz berechnen . Ihr Abstand vom Massenpunkt ist natürlich der Radius der Erde ( 6 , 371 k M ) plus Ihre Entfernung von der Oberfläche, die willkürlich ist. Das wird sein

v ( X ) = − G M X
Wo G ist die Gravitationskonstante, M ist die Masse der Erde und X ist Ihr Abstand von seinem Massenmittelpunkt.

Warten Sie ... so zunehmend X <i>verringert</i> meine potentielle Gesamtenergie ( v ( X ) )? Wie macht das Sinn?
@MaddeAnerson Es hängt davon ab, wie Sie potenzielle Energie definieren. In diesem Fall habe ich potentielle Energie definiert als "die Arbeit, die das Gravitationsfeld verrichtet, um eine Einheitsmasse aus dem Unendlichen zu diesem Punkt zu bringen". (Unter Verwendung der Definition von Wiki.) Auf diese Weise hat die Unendlichkeit null potentielle Energie.
Ich bin mir Ihrer Definition nicht sicher, aber meine Definition wäre "die Arbeit, die durch die Schwerkraft geleistet wird, indem eine Einheitsmasse abgezogen wird H (oder R , je nachdem, wie man die Höhe vom Schwerpunkt des größeren Körpers, zum Beispiel der Erde, bis zu dem Punkt wo nennen möchte H = 0 . Hier reduziere ich natürlich alles auf Punktmassen.
@MaddeAnerson Der Hauptunterschied zwischen Ihrer Definition und meiner besteht darin, dass wir postuliert haben, dass verschiedene Isopotentialoberflächen ein Nullpotential haben. Ihre Nullpotentialfläche (sozusagen Bezugspunkt wegen der Kugelsymmetrie des Gravitationsfeldes) ist die Erdoberfläche (als Kugel angenähert). Meine Isopotentialfläche (also Bezugspunkt) ist eine Kugel mit Erdmittelpunkt und unendlichem Radius. Aber so oder so kann man nichts als potentielle Gesamtenergie berechnen, da Energie bis auf eine beliebige additive Konstante immer unbestimmt ist.
@MaddeAnerson Aus diesem Grund müssen Sie immer eine Isopotentialfläche angeben (oder, wenn Sie dieses spehrsymmetrische Problem in 1D projizieren, einen einzelnen Punkt), die Sie als Nullpotential definieren, und Sie können nur die Potentialdifferenz zwischen anderen Isopotentialen berechnen Flächen und der Nullpotentialfläche. Ihre Definition und meine werden jedoch dieselben Ergebnisse liefern, wenn Sie die Potentialdifferenz zwischen zwei Raumpunkten berechnen würden.
@MaddeAnerson Ich darf hinzufügen, dass diese potenzielle Differenz zwischen zwei beliebigen Punkten des 3D-Raums bestehen wird M G H Aber hier H ist nicht der Abstand der Punkte, sondern der Abstand der Kugeln (Isopot. Flächen mit Erdmittelpunkt) auf denen sie sich befinden. Nimmt man den Sonderfall, wenn diese beiden willkürlichen Punkte auf derselben Linie wie der Schwerpunkt liegen und sagen wir, einer von ihnen ist auf der Erdoberfläche, erhalten Sie die Formel zurück M G H als Potentialdifferenz zwischen ihnen und hier H ist der Abstand von der Erdoberfläche (Höhe).
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