Konventionen für potenzielle Energiezeichen

Ich glaube, das hast du einfach vergessen$\int_A^B F\,dl$ist kein Skalarausdruck. Vielmehr sollte es in einer Form geschrieben werden$\int_A^B \vec{F}\cdot d\vec{l}$. Dann kommt es auf das Vorzeichen des Skalarprodukts an:

$W_{A \to B}=\int_{r_A}^{r_B} F(r) dr = \int_{r_A}^{r_B} \left(-\frac{GMm}{r^2} \right)dr$

der Weg könnte mit jeder Steigung gehen, aber die Schwerkraft ist immer nach unten gerichtet, entlang der$r$Achse. Das heißt, wir können immer nehmen$(\pi-\theta)$als Winkel zwischen den Vektoren$d\vec{l}$und das$r$Achse, das heißt

Für dein zweites Beispiel:

...wir sollten auch das Vorzeichen ändern, denn die Gravitationskraft ist immer eine Anziehungskraft .

Was die Autoren eigentlich meinen, ist Folgendes: Die Kräfte von Coulomb und Newton haben genau die gleichen Ausdrücke, aber die Vorzeichenkonventionen für sie sind unterschiedlich. Die Newtonsche Kraft ist so definiert, dass wenn alle Größen ($M$,$m$Und$r$) positiv sind , dann ist der Vektor der Kraft auf den anderen Körper gerichtet . Aber für die Coulomb-Kraft, wenn alle Größen ($q_1$,$q_2$Und$r$) positiv sind , dann ist der Vektor der Kraft von der anderen Ladung weg gerichtet . Das wird deutlich, wenn wir die Vektorausdrücke für diese Kräfte nehmen:

"...ab Punkt$A$darauf hinweisen$B$..." - ...wie ich es verstehe - die Arbeit, die ich tun muss, ist immer$U_B-U_A$. Die Arbeit jedoch, die die Kraft , die durch das Feld erzeugt wird, verrichtet, ist immer$U_A-U_B$, hab ich recht?

Ja das ist korrekt.

Die Merkregel ist ganz einfach:$U$ist wie die Höhe der Steigung. Wenn du nach oben gehst,$U_B>U_A$, und Sie sind es, der die Arbeit macht. Aber wenn du runter gehst,$U_A>U_B$, und es ist der Außendienst, der die Arbeit macht.

Nehmen wir es von Anfang an. Was ist kinetische Energie ,$KE$?

Für ein Teilchen ist es das$\frac{mv^2}{2}$, und für ein System von Teilchen ist es$\Sigma\large\frac{mv_i^2}{2}$für alle$i$Partikel.

Wie ändert man nun die kinetische Energie eines Teilchens? Dafür musst du dich umziehen$|v|$, und dafür muss man eine Kraft aufwenden .

Dann, wie man berechnet, wie viel$\Delta KE$ist, den Weg des Teilchens zu kennen?

Die Antwort darauf lautet: finden$\int^b_a \vec{F}\cdot d\vec{s}$, Wo$d \vec{s}$ist ein infinitesimaler Translationsvektor entlang des Pfades, dh in Richtung der Krafteinwirkung , aber Sie müssen den Pfad im Voraus kennen.

Dieses Integral nennen wir Arbeit. Es ist nur eine Nummer. Wir hätten es auch "Änderung der kinetischen Energie durch eine Kraft" nennen können, aber "Arbeit" klingt besser.

Eine Einschränkung der Arbeit: Sie können den Weg der jemals gegebenen Arbeit nicht vorhersagen.

Nun gibt es makroskopisch zwei Arten von Kräften : Konservative Kräfte und nicht-konservative Kräfte.

Gesetz: Energie (auch Zahl) eines isolierten Systems bleibt erhalten.

Konservative Kräfte sind per Definition so, dass zwischen zwei festen Punkten, egal auf welchem ​​Weg Sie die Arbeit erledigen, die Berechnung unabhängig vom Weg ist. Für nichtkonservative Kräfte hängt die Arbeit vom Weg ab.

Nun wissen wir, dass die Energie eines isolierten Systems konstant ist und eine "Kraftquelle" entweder eine nicht-konservative oder eine konservative Kraft aufbringt, und welche Energie auch immer der sich bewegende Körper gewinnt, die Quelle wird die gleiche Energiemenge verlieren .

Angenommen, Sie wenden eine nichtkonservative Kraft an und nehmen ein Objekt ab$A$Zu$B$, Ihre Arbeit hängt vom Pfad ab; Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, wie viel Energie Sie verlieren (gewinnen, wenn$\Delta KE$ist negativ).

Aber für eine konservative Kraft gibt es nur eine Möglichkeit, da Arbeit (oder äquivalent$\Delta KE$) ist pfadunabhängig. Eine Quelle, die eine konservative Kraft anwendet, wird also immer die gleiche Energiemenge verlieren / gewinnen, wenn Sie sie entnehmen$A$Zu$B$egal welchen Weg du einschlägst.

Wir können diese Energieänderung also für eine konservative Kraft nennen: potentielle Energie oder symbolisch$\Delta U$(zeigt das Potenzial einer Quelle). Jetzt können nur Sie rechnen$\Delta U$.

Denken Sie jetzt darüber nach: Energie, die durch die Quelle verloren geht, ist gleich Energie, die durch das bewegte Ding gewonnen wird, so können wir sagen$-\Delta U = Work = \Delta KE$, daran erinnernd$\Delta U + \Delta KE = 0$aus der Energieerhaltung.

Und dies ist die einzige Definition des Unterschieds in potentieller Energie . Potentielle Energie ist nichts, nur Änderungen der potentiellen Energie haben eine Bedeutung.

Und wenn sich Lehrbücher auf potentielle Energie beziehen, berechnen sie Veränderungen durch Zuweisen$U_{\infty}$als$0$Da nur die Veränderung zählt, können Sie jeden Punkt so wählen, dass er Nullpotential hat, und die Nettoveränderung passt sich automatisch an.

Und diese potenzielle Energieänderung kann physikalisch als Feldänderung einer Kraft im Raum oder als Kompression einer Feder usw. gesehen werden.

Siehe auch hier: Elektrostatische potentielle Energieableitung

„Und wenn es eine Anziehungskraft ist? Wie sollte das unsere Berechnungen beeinflussen?

Weil Sie die Arbeit-Energie-Beziehung in einer unvollständigen Kurzschrift geschrieben haben. Die richtige Version,

Diese Beziehung ist die Quelle all der mysteriösen Vorzeichenwechsel, die Sie verwirren. In der Gravitation zeigt die Kraft zwischen zwei Körpern immer in Richtung geringerer Trennung, in der Elektrostatik kann sie je nach Vorzeichen des Produkts der Ladungen in beide Richtungen zeigen.

Das Minuszeichen wurde dort eingefügt, als wir mechanische Energie erzeugten. Nehmen Sie die$\int \vec{F}\cdot\vec{dr}$. Dies ist ein unbestimmtes Integral. Subtrahiert man dieses Integral von sich selbst, erhält man eine Konstante, weil das unbestimmte Integral bis auf eine Konstante definiert ist.

Daher,

$c = \int \vec{F}\cdot d\vec{r} - \int \vec{F}\cdot d\vec{r}$

Berechnen Sie den ersten Term, der in eingesetzt wird$\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{\vec{dv}}{dt}$Und$d\vec{r} = \vec{v}dt$. Sie erhalten$\frac{1}{2}mv^2$Berechnen Sie den zweiten Term genau, wenn es möglich ist.

$c = \underbrace{\frac{1}{2}mv^2}_{T} \underbrace{- \int \vec{F}\cdot d\vec{r}}_{+V}$

Wir nennen diese Konstante die Energie. Aus diesem Grund kommt das Minuszeichen des Potenzials.

Was die Arbeit angeht, die Sie tun müssen, müssen Sie kalkulieren$W = \int \vec{F}\cdot\vec{dr}$wobei die Kraft die Kraft ist, die Sie anwenden, um das Teilchen von Punkt A nach Punkt B zu bringen. Um herauszufinden, ob dies Ua - Ub oder Ub - Ua ist, müssen Sie nachsehen, wie sie es berechnet haben. Dies ist in Elektromagnetismus-Büchern nicht immer gleich. Manche nehmen gerne$d\vec{r}$ein Pfad, der von der Punktladung nach außen oder nach innen führt. In die Ferne, wenn Sie rechnen$\int\vec{F}\cdot d\vec{r}$Wo$\vec{F}$ist die Kraft, die du auf deinem Weg anwendest, du machst nie einen Fehler.