Was versteht man unter „potentielle Gravitationsenergie eines Systems“?

Anders als kinetische Energie, die ein einzelner Körper besitzen kann, ist potentielle Energie immer eine Eigenschaft eines Systems, das mindestens zwei Körper hat.

Potenzielle Energie existiert in einem System, wenn zwei (oder mehr) Objekte, aus denen das System besteht, mittels einer konservativen Kraft interagieren

Ihre erste Definition ist eigentlich falsch. Die potentielle Energie gehört zum System von Objekt und Gravitationsfeld . Es gibt viele Missverständnisse im Zusammenhang mit einem einzelnen Objekt, das eine potenzielle Energie besitzt.

Wenn Sie beispielsweise einen Ball von der Erdoberfläche auf eine bestimmte Höhe heben, wird fälschlicherweise behauptet, dass der Ball eine potenzielle Gravitationsenergie besitzt (gegeben durch$mgy$). Richtig ausgedrückt ist es, dass das System aus Kugel und Erde oder das System aus Kugel und Erde ein Gravitationspotential hat, das durch gegeben ist$mgy$. In diesem Fall besteht das System aus der Kugel und der Erde, die mittels einer konservativen Kraft wechselwirken; Schwere.

Ihr Ausdruck für zwei Objekte ist gleichbedeutend mit dem Ball und der Erde. Das System, das sie umfassen, hat die Eigenschaft potentieller Energie, weil sie mittels einer konservativen Kraft interagieren.

Vielleicht ist Ihnen auch der Ausdruck für die potenzielle Gravitationsenergie eines Systems aus drei oder mehr Teilchen begegnet:

$$U_g = \frac{1}{2} \sum_{i \neq j}\frac{-Gm_im_j}{r_{ij}}$$

Wäre es in einem solchen Fall sinnvoll zu sagen, dass ein einziges Objekt von allen diesen Wert potenzieller Energie besitzt (wie Ihre Definition nahelegt)?

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Zu deiner Frage (in den Kommentaren gepostet):

(1) Im Allgemeinen enthält der von Ihnen erwähnte Artikel viele Fehler. Noch einmal, die potentielle Energie ist eine Eigenschaft des Massefeldsystems, also besitzen weder das Gravitationsfeld noch die Masse die potentielle Energie (gleich$V.m$, lesen Sie meinen zweiten Punkt). Tatsächlich ist es eine Eigenschaft des kombinierten Systems und daher diese Aussage:

Auch warum wird dem Gravitationsfeld potentielle Energie zugeordnet, wenn die Arbeit am Körper durch das Feld verrichtet wird?

ist physikalisch bedeutungslos. Beachten Sie, dass einige Quellen behaupten, dass die potenzielle Energie der Gravitation im Feld gespeichert ist . Obwohl dies nicht ganz genau ist, ist dies einigermaßen gerechtfertigt, da sich das Gravitationsfeld mit der Entfernung ändern würde (genau wie die potenzielle Energie).

(2) Sie dürfen nicht zwischen potentieller Gravitationsenergie und Gravitationspotential verwechselt werden. Das Gravitationspotential ist definiert als

$$V = \frac{U_g}{m}$$ wobei m die Masse der Quelle ist, die das Feld verursacht. Es ist nur numerisch gleich der potenziellen Energie, wenn Sie ersetzen$m = 1 kg$

(3) Es ist falsch zu behaupten, dass ein einzelner Körper eine potentielle Energie besitzt. Diese Notation ist jedoch zu sehr in unserer Sprache verankert, weshalb Sie möglicherweise mehrere Referenzen davon sehen. Ein einzelnes isoliertes Objekt kann jedoch keine potentielle Energiefunktion haben (wie in meiner Antwort beschrieben).

Was versteht man unter potentieller Gravitationsenergie eines Systems? Es gibt zwei Definitionen der Newtonschen Gravitation:

(a) System diskreter Teilchen: Der Ausdruck für die potentielle Gesamtenergie eines Systems von$N$Teilchen ist gegeben durch

$$V_{tot}=-\frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{Gm_im_j}{|r_i-r_j|}$$ wo die Indizes$i,j\in (1,2,...,N)$Und$i\neq j$

(b) Bei einer kontinuierlichen Verteilung wird die diskrete Summe durch ein Integral ersetzt:

$$V_{tot}=\frac{1}{2}\int \rho(r)\Phi(r) d^3r$$ Verwenden des Gaußschen Gesetzes für die Schwerkraft $$\nabla.\textbf{g}=4\pi G\rho$$ (wo Gravitationsfeld$\textbf{g}=-\nabla\Phi(r)$) und partielle Integration können wir schreiben $$V_{tot}=-\frac{1}{8\pi G}\int \textbf{g}(r).\textbf{g}(r)d^3r$$ Beachten Sie, dass wir in dieser Definition auch die gravitative Eigenenergie des Systems berücksichtigt haben, die für den diskreten Fall ignoriert wurde.

Dazu bedenkst du die Arbeit, die du leisten musst, um die Massen langsam aus der Unendlichkeit zusammenzubringen (offensichtlich ist dies eine Abstraktion). Die Kraft, die sie anzieht, ist:

$$\vec F(r) = -\hat r \frac{GmM}{r^2}$$

Wenn Sie sie also langsam zusammenbringen, müssen Sie an einem gegenüber ziehen$\hat F$, so dass die geleistete Arbeit ist:

$$W(r) = \int_{r'=\infty}^{r'=r}F(r')dr'$$ $$W(r) = -\int_{r'=\infty}^{r'=r}\frac{GmM}{r'^2}dr'$$ $$W(r) = \frac{GmM}{r'}\Big|_{r'=\infty}^{r'=r}$$ $$W(r) = GmM[\frac 1{\infty} - \frac 1 r]$$ $$W(r) =-\frac{GmM}{r}\equiv V(r)$$