Ist meine Herleitung der Potentialformel m∗g∗hm∗g∗hm*g*h richtig?

Es sieht so aus, als hätten Sie Ihren Fehler in den Kommentaren herausgefunden. Hier ist die richtige Herleitung. Beginnen wir mit Ihrem Ausdruck

$$\Delta E = \left[-\frac{GMm}{r}\right]^{e+h}_e = GMm \left(\frac{1}{e} - \frac{1}{e+h}\right),$$

das ist der korrekte allgemeine Ausdruck für die Änderung der potenziellen Energie der Gravitation außerhalb eines kugelsymmetrischen Körpers. Wenn$h \ll e$, dann dürfen wir expandieren

$$\frac{1}{e} - \frac{1}{e+h} = \frac{1}{e}\left[1-\frac{1}{1+h/e}\right] \approx \frac{1}{e}\left[1 - \left(1-\frac{h}{e} + \cdots\right)\right] = \frac{h}{e^2} + \cdots,$$

wobei wir die Binomialerweiterung verwendet haben$1/(1+h/e) = (1+h/e)^{-1} = 1-h/e + \cdots$, wobei die Punkte Begriffe sind, die wie gehen$(h/e)^2$. Wenn wir das wieder einstecken, bekommen wir

$$\Delta E \approx \frac{GMmh}{e^2} = \frac{GM}{e^2} mh = mgh,$$

wo wir erkennen, dass die Gravitationsbeschleunigung an der Erdoberfläche ist$g = GM/e^2$. Das ist der gesuchte Ausdruck.

(Für zusätzlichen Spaß: Wenn Sie den nächsten Term in der Binomialerweiterung behalten, dh den Term, der wie geht$(h/e)^2$, können Sie zeigen, dass ein längliches Objekt wie ein Stab, wenn es sich frei um seinen Massenmittelpunkt drehen kann, es ein wenig vorziehen wird, auf und ab zu hängen, anstatt horizontal. Dieser Effekt ist teilweise verantwortlich für das Phänomen der Gezeitensperre, bei der beispielsweise die Rotation des Mondes mit der der Erde synchronisiert wird, sodass wir immer nur dieselbe Seite des Mondes sehen.)

Gute Frage! Sie haben den formalen Trugschluss der "Äquivokation" begangen, was ein schickes Wort für "zwei verschiedene Dinge (in diesem Fall Zahlen) mit demselben Namen nennen (in diesem Fall$a$)."

So$a = GM/r^2$ist wirklich ein Haufen verschiedener Zahlen, eine für jeden möglichen Radius. Wenn du vorgibst, dass du dasselbe bekommst$a$für$GM/e^2$dafür hast du$GM/(e + h)^2$, da begehst du den Trugschluss. Lassen Sie mich zuerst anrufen$a$als$a_0$und die zweite als$a_+$; du hast gerade geschrieben$m a_0 e^2/e - m a_+ (e + h)^2/(e+h) = m a_0 e - m a_+ (e + h),$dann ersetzt du beides$a_0$Und$a_+$mit$g$, was nur annähernd gilt, wenn$h$ist klein.

Wenn Sie dies als Serienerweiterung wünschen, ist dies tatsächlich nicht sehr schwierig. Der erste Schritt besteht darin, alle gängigen Begriffe auszuklammern:

$$\frac {GMm}{e} - \frac {GMm}{e + h} = \frac {GMm}e \left( 1 - \frac 1{1 + (h/e)}\right).$$ Es stellt sich heraus, dass für $|r| < 1$die geometrische Reihe $1 + r + r^2 + \dots = \frac 1{1-r}.$Um dies zu sehen, betrachten Sie die endliche Summe der ersten $n$Bedingungen, $S_n(r) = 1 + r + \dots + r^{n-2} + r^{n-1}.$Nun gibt es zwei verschiedene Wege, um dorthin zu gelangen $S_n(r)$Zu $S_{n+1}(r)$aber beide müssen Sie zur gleichen Nummer bringen. Die erste besteht darin, sich vorzustellen, jeden Term von zu multiplizieren $S_n(r)$mit $r$und dann Hinzufügen von 1; die zweite ist einfach hinzuzufügen $r^n$bis zum Ende: $$S_{n+1}(r) = 1 + r S_n(r) = S_n(r) + r^n.$$ Aber dieses zweite Gleichheitszeichen ist eine Gleichung, die direkt gelöst werden kann $S_n(r) = (1 - r^n)/(1 - r).$Dann wenn $|r|<1$der Begriff $r^n$wird auf 0 als gehen $n$wird groß, also haben wir $S_\infty(r) = 1/(1-r).$

Im Gegenzug wenn$|h/e| < 1$dann ist die obige Reihe

$$1 - \frac1{1+h/e} = 1 - 1 + \frac he - \left(\frac he\right)^2 + \left(\frac he\right)^3 - \left(\frac he\right)^4 + \dots,$$ wobei das Wechselzeichen von a kommt $(-1)^n$Begriff in der Reihe, der keine theoretischen Probleme aufwirft, also lassen Sie sich davon nicht zu sehr beunruhigen.

Für den Fall wo$GM/e^2 = g$Und$(h/e)^2 \ll (h/e)$(was funktioniert$h \ll e$nur der$h/e$Begriff überlebt und Sie haben einfach$m g h.$

Die Ersetzung, die Sie vornehmen sollten, ist die$mg = \frac{GM_{\rm E}m}{R^2}$Wo$g$ist der Wert der Gravitationsfeldstärke in der Ferne$R$vom Mittelpunkt der Erde.
Beachten Sie, dass der Wert von$g$ist nicht konstant.

Die Änderung der potentiellen Energie beim Anheben aus der Ferne$R$vom Mittelpunkt der Erde bis zu einer Entfernung$R+h$Ist

$$-\dfrac{GM_{\rm E}m}{R+h}+\dfrac{GM_{\rm E}m}{R} = \dfrac{GM_{\rm E}m}{R}\left ( \dfrac{-R+R+h}{R+h}\right )=\dfrac{GM_{\rm E}m}{R^2}\dfrac{h}{\left (1 +\frac h R \right )}=\dfrac{mgh}{\left (1 +\frac h R \right )}$$

Jetzt können Sie also die Annäherung vornehmen$h\ll R$zu bekommen$mgh$für die Änderung der potentiellen Energie.