Gravitationsbindungsenergie des 2D-Kreises [geschlossen]

Asteroiden werden durch eine Kombination aus Schwerkraft und kohäsiven (elektromagnetischen) Kräften zusammengehalten (die gleichen Kräfte, die Felsen auf der Erde zusammenhalten). Bei kleinen Asteroiden (kleiner als etwa 1 km) ist die Schwerkraft vernachlässigbar, während bei größeren Körpern (größer als 10 bis 100 km) die Kohäsionskräfte vernachlässigbar werden*.

Wenn Sie nur an den größeren Körpern interessiert sind, ist Ihre rein gravitative Annäherung gut.

Wenn Sie nur die Schwerkraft einbeziehen, dann sind das, was Ihre Modellierung sogenannte " Trümmerhaufen " nennt --- was keine schreckliche Annäherung ist. Wenn Sie jedoch für die kleineren Körper etwas realistischer sein möchten, können Sie eine konstante Bindungsenergie einbeziehen, die nicht von der Masse abhängt. Die Größe könnte mit der Gravitationsbindungsenergie für ein Objekt mit einem Radius von etwa 1 km vergleichbar sein, aber Sie sollten sie so wählen, dass sie Ihrer gewünschten Dynamik entspricht.

In Bezug auf den 2D-Formalismus: Es ist nicht ganz klar, warum Sie sich dafür entscheiden, dies anstelle von 3D zu tun, aber es ist effektiv dasselbe. Sie verwenden nur die "Oberflächendichte" anstelle der Volumendichte. Es ist, als wären Ihre Asteroiden Pucks statt Kugeln.

@DilithiumMatrix hat ein wenig über die physikalische Bedeutung hinter Ihrer Antwort und die wichtige Unterscheidung hinter den gravitativen und elektromagnetischen Bindungskräften gesprochen. Ich möchte darauf hinweisen, dass Ihre Gravitationsberechnung nicht wirklich korrekt ist (obwohl sie gut genug sein könnte – siehe Ende des Beitrags).

Warum Ihre Antwort eigentlich nicht richtig ist:

Das Problem ist, dass wenn Sie einen 2-D-Asteroiden im 3-D-Raum haben, es nicht stimmt, dass das Potential am Rand einer Scheibe gleich der Masse der Scheibe dividiert durch ihren Radius (mal$G$):

$$\Phi \neq -\frac{ G (\rho \pi r^2)}{r}.$$ Zwar hängt die Gravitationskraft auf der Oberfläche einer Kugelschale nur von der darin eingeschlossenen Masse ab; In diesem Fall wirkt die Kraft so, als ob sich im Zentrum der Schale ein Massepunkt befände. Aber für jede andere Massenkonfiguration innerhalb der Kugel variiert die Kraft in Richtung und Größe über die Oberfläche, und das bedeutet, dass das Potenzial auch in der Größe über der Oberfläche variiert. Es wirkt nicht mehr wie eine im Zentrum konzentrierte Punktmasse.

Wenn Sie andererseits einen 2-D-Asteroiden in einem 2-D-Universum haben, dann ist es nicht wirklich natürlich, dass die Gravitationskraft proportional zu abfällt$1/r^2$, und daher sollte das Potenzial wahrscheinlich nicht proportional zu abfallen$1/r$. Dies ist am einfachsten anhand elektrischer Felder zu sehen, die sich in 3-D genauso verhalten wie Gravitationsfelder (dh sie gehorchen einem Abstandsgesetz). Wenn Sie an die Feldlinien einer isolierten Punktladung denken, strömen sie aus die Punktladung in geraden Linien in alle Richtungen; Die Tatsache, dass sie weiter voneinander entfernt sind, ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass das Feld mit zunehmender Entfernung schwächer wird. Insbesondere ist die Feldstärke in einer bestimmten Entfernung proportional zur Anzahl der Feldlinien pro Fläche in dieser Entfernung; da wir also in jedem bestimmten Abstand die gleiche Anzahl von Feldlinien haben und die Flächen der umschließenden Kugeln proportional zu gehen$r^2$, dann folgt, dass die Feldstärke umgekehrt proportional zu ist$r^2$.

Wenn Sie dieses Argument jedoch in 2-D übersetzen und möchten, dass die Gravitations- / elektrischen Feldlinien dieselbe Interpretation haben, müssen sich die Feldlinien über den Umfang eines Kreises ausbreiten, nicht über die Oberfläche einer Kugel . Daher ist da der Umfang eines Kreises proportional zu$r$, wird die Feldstärke in einem solchen Universum proportional sein$1/r$, nicht$1/r^2$. Das Potential, so lässt sich zeigen, ist dann proportional zu$-\ln r$statt$1/r$.

Zurück zum Fall eines 2-D-Asteroiden in einer 3-D-Welt: Die eigentlichen Berechnungen dafür sind ziemlich unangenehm, und ich glaube nicht, dass es eine genaue numerische Antwort gibt. Das Problem ist im Grunde gleichbedeutend mit der Frage, wie hoch das elektrische Potential einer gleichmäßig geladenen dünnen Scheibe ist, und eine Lösung in geschlossener Form in Bezug auf "schöne" Funktionen existiert wahrscheinlich nicht. Ich habe jedoch in der Vergangenheit ein ähnliches Problem gelöst, und ich konnte den Code starten und eine meiner Meinung nach ungefähre numerische Antwort erhalten:

$$U \approx -0.424 \frac{Gm^2}{R}.$$

Warum Ihre Antwort immer noch gut genug sein könnte:

In gewisser Weise spielt der numerische Faktor vorne keine so große Rolle. Würde man beispielsweise doppelt so dichte Asteroiden verwenden, würde dies ihre gesamte Masse verdoppeln und damit ihre gesamte Bindungsenergie vervierfachen. Es ist in der Tat nicht allzu schwer zu erkennen, dass die Änderung des numerischen Faktors vor der Formel einer Änderung der Dichte der Asteroiden entspricht. Was wirklich wichtig ist, ist die Skalierung von$U$relativ zu$m$Und$R$richtig, und die einzig mögliche Antwort darauf ist

$$U = - k \frac{GM^2}{R}$$ für eine dimensionslose Konstante $k$. (Die Kombination $G M^2/R$ist die einzige Möglichkeit zu kombinieren $G$, $M$, Und $R$etwas in Einheiten von Joule erhalten; Das einzige, was sich bei Ihrer endgültigen Antwort unterscheiden kann, ist der Wert von $k$.)

Ich denke, solange Sie Ihren Asteroiden eine Bindungsenergie geben, die proportional zum Quadrat ihrer Masse und umgekehrt proportional zu ihrem Radius ist, wird die Physik immer noch ziemlich realistisch sein. Wenn dies zum Beispiel für ein Spiel wäre, würde ich Ihnen wahrscheinlich sagen, dass Sie diesen Code so versenden sollen, wie er ist. Wenn es sich dagegen um eine akademische Monographie handelt, sollten Sie mit dem genauen Wert von viel vorsichtiger sein$k$. (Sie würden wahrscheinlich in erster Linie in 3-D arbeiten, also ist das so, wie es sein mag.)