Finden des Grundzustands des Toric-Code-Hamiltonoperators

Der$A$Betreiber und die$B$s pendeln alle miteinander, weil sie sich immer eine gerade Anzahl von Plätzen und damit eine gerade Anzahl von Pauli-Matrizen teilen. Daher sind dies alles Erhaltungsgrößen und können durch ihren Erwartungswert ersetzt werden. Der Grundzustand ist der Zustand mit Eigenwerten$A = 1 = B$in Einheiten wo$\sigma$ist eine Pauli-Matrix.

Bei den Spins ist die Situation etwas weniger trivial. Betrachten Sie die Konfigurationen, die die Einschränkung erfüllen$B = 1$, die in der z-Basis arbeiten. Dies erfordert, dass die Drehungen eine gerade Anzahl von Aufwärtsdrehungen und eine gerade Anzahl von Abwärtsdrehungen haben (alle oben, alle unten oder zwei und zwei). Wenn man jedoch versucht, ein Paar Aufwärtsdrehungen zu machen, wird man feststellen, dass auf den benachbarten Sternen (Kreuzen) eine weitere umgedrehte Drehung erforderlich ist, und daher sind die einzig möglichen Konfigurationen diejenigen, bei denen die Abwärtsdrehungen geschlossene Schleifen im Hintergrund von Aufwärts bilden Drehungen oder (äquivalent) umgekehrt. Daher muss der Grundzustand eine Überlagerung dieser Zustände mit Schleifen darin sein.

Betrachten Sie nun die Einschränkung$A=1$. Schreiben$\sigma^x$im$z$Basis macht deutlich, dass der Operator den Spin umdreht (dies kann auch als Folge der Antikommutierung von verstanden werden$\sigma^z$Und$\sigma^x$). Deshalb,$A$dreht die Drehungen auf einer Plakette um. Wie erwartet bringt uns dies zu einem anderen Zustand, der dem gehorcht$B=1$Zwang; die Anregung kann als kleine Schleife von Up-Spins gesehen werden. Außerdem können wir mit anderen handeln$A$in der Nähe und vergrößern Sie die Schleife, und erstellen Sie auf diese Weise Schleifen jeder Größe und Form, indem Sie mit den handeln$A$Betreiber.

Der Grundzustand$|\psi_0\rangle$des torischen Codes ist die gleichgewichtige (Betrag und Phase) Überlagerung aller Schleifenkonfigurationen von Spin-Downs auf dem Hintergrund von Spin-Ups. Man könnte es ein Quantenschleifengas nennen. Es ist leicht zu sehen, dass dies der ersten Einschränkung gehorcht, da jede Schleifenkonfiguration selbst eine hat$B=1$. Andererseits, wenn man mit handelt$A_p$Jede Schleifenkonfiguration wird in eine andere geändert. Es ist jedoch leicht zu beweisen, dass dies der Grundzustand ist, da für ein Gegebenes$A_p$Dies tauscht einfach zwei Schleifenkonfigurationen aus, die überall gleich sind, außer auf der Plakette p, und die entgegengesetzte Spinkonfigurationen auf p haben. Diese beiden Konfigurationen sind beide gleichgewichtig Teil der Summe, so dass der Zustand durch diese Aktion unverändert bleibt. Deshalb$A|\psi_0\rangle = |\psi_0\rangle$Und$A=1$.

Beachten Sie schließlich, dass man sogar sehen kann, dass dieser Zustand bei offenen Randbedingungen eindeutig ist. Dies liegt daran, dass der Zustand aus Schleifenkonfigurationen bestehen muss und daher eine Überlagerung von ihnen ist (durch die$B=1$Zwang). Aber die unterschiedlichen Schleifenkonfigurationen können aus dem Zustand ohne Schleifen erhalten werden, indem mit einem Produkt von gearbeitet wird$A$Bediener erstellt die Schleifen, eine Plakette nach der anderen. Daher müssen die verschiedenen Konfigurationen alle den gleichen Koeffizienten wie die No-Loop-Konfiguration haben, da das Produkt von wirkt$A$s kann den Zustand nicht ändern (es hat auch den Eigenwert 1, da jeder seiner Terme dies tut) und tauscht diese beiden Konfigurationen aus. Auf einem Zylinder (oder Torus) gibt es jedoch Schleifen, die nicht durch Produkte des Lokalen erzeugt werden können$A$Operatoren - sie sind die Schleifen, um die sich die kreisförmige Dimension windet. Daher existiert in diesen Fällen eine Grundzustandsentartung entsprechend der Anzahl von Konfigurationen, die den unbeschränkten Schleifen zur Verfügung stehen.