FLRW-Kosmologie mit Skalarfeld: Was sind die Phasenraumvariablen?

Question

FLRW-Kosmologie mit Skalarfeld: Was sind die Phasenraumvariablen?

Cham

Ich studiere ein Kosmologiemodell von Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) mit einem einfachen Skalarfeld als Quelle (keine staubähnliche Materie, keine Strahlung, keine kosmologische Konstante). Im Moment ist das Feld nur ein Klein-Gordon (KG)-Skalar mit Potential $\mathcal{V}(\phi) = \frac{1}{2} \; m^2 \, \phi^2$ (Später werde ich es auf das in der Inflationstheorie verwendete quartische Potential verallgemeinern).

Die Gleichungen, die ich lösen muss, sind diese (FLRW-Gleichungen und die KG-Gleichung):

\begin{matrix} (1) & \frac{{\dot{a}}^{2}}{a^{2}} + \frac{k}{a^{2}} = \frac{8 π G}{3} ρ, \\ (2) & \frac{\ddot{a}}{a} = - \frac{4 π G}{3} (ρ + 3 p), \\ (3) & \ddot{ϕ} + 3 \frac{\dot{a}}{a} \dot{ϕ} + v^{'} = 0. \end{matrix}

$\begin{gather} \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k}{a^2} = \frac{8 \pi G}{3} \; \rho,\tag{1} \\[12pt] \frac{\ddot{a}}{a} = -\, \frac{4 \pi G}{3} (\rho + 3 p), \tag{2} \\[12pt] \ddot{\phi} + 3 \frac{\dot{a}}{a} \; \dot{\phi} + \mathcal{V}^{\, \prime} = 0. \tag{3} \end{gather}$ Die Variablen sind

a (t)

$a(t)$ ,

ϕ (t)

$\phi(t)$ . Die skalare Felddichte und der Druck sind diese:

\begin{matrix} (4) & ρ = \frac{1}{2} {\dot{ϕ}}^{2} + v (ϕ), \\ (5) & p = \frac{1}{2} {\dot{ϕ}}^{2} - v (ϕ) . \end{matrix}

$\begin{gather} \rho = \frac{1}{2} \; \dot{\phi}^2 + \mathcal{V}(\phi), \tag{4} \\[12pt] p = \frac{1}{2} \; \dot{\phi}^2 - \mathcal{V}(\phi). \tag{5} \end{gather}$ Die Anfangsbedingungen sind

ϕ (0) = ϕ_{0}

$\phi(0) = \phi_0$ und

\partial_{t} ϕ |_{t = 0} = {\dot{ϕ}}_{0}

$\partial_t \, \phi \, |_{t = 0} = \dot{\phi}_0$ (zwei beliebige reelle Zahlen) und dem Massenparameter

m

$m$ (eine beliebige positive Zahl). Für den Skalierungsfaktor habe ich eingestellt

a (0) = 1

$a(0) = 1$ . Da die Expansionsrate bei

t = 0

$t = 0$ ist

H_{0} \equiv \frac{\dot{a}}{a} |_{t = 0}

$H_0 \equiv \frac{\dot{a}}{a} |_{t=0}$ (die Hubble-Konstante ), könnte ihr Kehrwert als Zeiteinheit verwendet werden. Also habe ich die Anfangsbedingung gesetzt

\dot{a} (0) = 1

$\dot{a}(0) = 1$ .

Ich konnte jetzt die Gleichungen (2) und (3) mit numerisch lösen $\phi_0$ , $\dot{\phi}_0$ und $m$ als willkürliche Eingabe, und zeichnen Sie schöne Grafiken der Entwicklung von $a(t)$ und $\phi(t)$ .

Nun stellt sich die Frage, was die richtigen Variablen sein sollten, um den Phasenraum des Skalierungsfaktors und des Felds zu definieren. Derzeit verwende ich diese:

\begin{matrix} (6) & (a, \dot{a}), (ϕ, \dot{ϕ}) . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{6} \big(\, a, \; \dot{a} \big), \qquad \big( \, \phi, \; \dot{\phi} \big). \end{equation}$ Ich vermute, es sollte etwas komplizierter sein. Von einem Lagrange, den ich hier nicht schreibe (

p_{q} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

$p_q = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ ist der kanonische Impuls , der dem zugeordnet ist

q

$q$ Variable), vermute ich, dass die richtigen Variablen, die in einem Phasenraumdiagramm verwendet werden sollen, stattdessen diese sind:

\begin{matrix} (7) & (a, - 6 a \dot{a}), (ϕ, a^{3} \dot{ϕ}) . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{7} \big(\, a, \; -\, 6 \, a \, \dot{a} \big), \qquad \big( \, \phi, \; a^3 \, \dot{\phi} \big). \end{equation}$ Aber wenn ich die Grafiken dieser Variablen zeichne, erhalte ich seltsam deformierte Muster, die schwer neu zu skalieren sind. Anscheinend liefern Variablen (6) bessere Ergebnisse (schöner anzusehen). Ich brauche diesbezüglich Ratschläge.

BEARBEITEN: Gibt es zur FLRW-Kosmologie eines einfachen KG-Skalarfelds irgendwelche Arbeiten, die die Ergebnisse (aus der numerischen Integration) diskutieren? Ich möchte meine Ergebnisse mit etwas vergleichen, da ich in allen Büchern der Allgemeinen Relativitätstheorie, die ich habe, nie eine Diskussion über dieses Modell gesehen habe (außer den üblichen Inflationsszenarien mit Slow-Roll-Approximationen oder anderen Variationen ...).

Michael Seifert

In gewissem Sinne können Sie beliebige Koordinaten im Phasenraum verwenden, die Sie möchten. Nur wenn Sie bestimmte geometrische Ergebnisse bezüglich der Bewegung im Phasenraum (insbesondere das Theorem von Liouville) verwenden möchten, wird es einfacher, mit den "richtigen" Phasenraumkoordinaten in Bezug auf konjugierte Impulse zu arbeiten.

Cham

@MichaelSeifert, Sie schlagen also vor, dass Variablen (6) gut genug sind, um die Bewegung im Phasenraum darzustellen?

Cham

Ich habe zwei Dokumente über die Phasenraumvariablen in der Skalarkosmologie gefunden, aber es ist mir noch nicht klar: arxiv.org/abs/1605.05995 und arxiv.org/abs/1309.2611 . Diese Dokumente tendieren dazu, die obigen Variablen (7) zu bestätigen.

Antworten (1)

FLRW-Kosmologie mit Skalarfeld: Was sind die Phasenraumvariablen?

In gewissem Sinne können Sie beliebige Koordinaten im Phasenraum verwenden, die Sie möchten. Nur wenn Sie bestimmte geometrische Ergebnisse bezüglich der Bewegung im Phasenraum (insbesondere das Theorem von Liouville) verwenden möchten, wird es einfacher, mit den "richtigen" Phasenraumkoordinaten in Bezug auf konjugierte Impulse zu arbeiten.
@MichaelSeifert, Sie schlagen also vor, dass Variablen (6) gut genug sind, um die Bewegung im Phasenraum darzustellen?
Ich habe zwei Dokumente über die Phasenraumvariablen in der Skalarkosmologie gefunden, aber es ist mir noch nicht klar: arxiv.org/abs/1605.05995 und arxiv.org/abs/1309.2611 . Diese Dokumente tendieren dazu, die obigen Variablen (7) zu bestätigen.

Giovanni Aquaviva · Answer 1

Ich werde versuchen, einige Überlegungen zum Phasenraum der Skalarfeld-Kosmologie zu vermitteln, die aus persönlicher Erfahrung sowie aus der Referenz https://arxiv.org/abs/1309.2611 von @Someone und dem Kommentar von @Michael Seifert stammen. Hoffentlich hilft dies gleichzeitig auch bei der Beantwortung der Frage.

Die Skalarfeldkosmologie ist ein autonomes Hamiltonsches System. Das bedeutet, dass:

das System kann durch eine Hamilton-Funktion beschrieben werden, die nicht explizit von der Zeitkoordinate abhängt (sie kann offensichtlich von der Zeit abhängen, aber nur durch die Grundfunktionen $a(t)$ , $\phi(t)$ und ihre Derivate);
Hamilton-Jacobi-Gleichungen reproduzieren Einsteins Gleichungen (die Friedmann-Gleichung ist tatsächlich eine parametrisierte Form der Konstantenergie-Oberfläche des Hamilton-Operators).

Eine wohlbekannte Eigenschaft von Hamiltonschen Systemen ist, dass sie das Theorem von Liouville erfüllen: Das Volumen eines Bereichs des Phasenraums ist unter der Zeitentwicklung unveränderlich . Dieser Satz besagt insbesondere, dass das Hamiltonsche Vektorfeld, das die Entwicklung der Trajektorien im Phasenraum beschreibt, divergenzfrei ist. In Begriffen, die Menschen auf dem Gebiet dynamischer Systeme, die auf die Kosmologie angewendet werden, vertrauter sind, bedeutet dies, dass der Phasenraum keine Quellen oder Senken darstellt. In den meisten Arbeiten, die in der Literatur erscheinen, hören wir jedoch Leute, die von "vergangenen oder zukünftigen Attraktorlösungen" sprechen, die effektiv Punkte im Parameterraum sind, in denen die Trajektorien divergieren oder konvergieren. Angesichts der Tatsache, dass das System zweifellos hamiltonsch ist, wie ist das Vorhandensein von Attraktoren in diesem Fall mit dem Satz von Liouville vereinbar? Was der Satz, wie oben angegeben, nicht spezifiziert, ist, dass es für ein Hamiltonsches System keine Quellen und Senken im Phasenraum gibt, wenn das System in kanonischen Koordinaten ausgedrückt wird .

Kommen wir zu Ihrem speziellen Beispiel: In einer rein hamiltonschen Perspektive sind die Variablen in Gleichung (7) die kanonischen in dem Sinne, dass die verallgemeinerten Koordinaten gegeben sind $a$ und $\phi$ , dann $p_a=-6 a \dot{a}$ und $p_{\phi}=a^3 \dot{\phi}$ sind ihre jeweiligen konjugierten Impulse. Daher weist der Phasenraum in Koordinatengleichung (7) keine Senken oder Quellen auf. Die durch Gleichung (6) gegebenen Variablen sind jedoch nicht die kanonischen und deshalb zeigt eine Darstellung des Phasenraums in diesen Koordinaten das Vorhandensein von Senken und Quellen. Das bedeutet nicht, dass das nicht-kanonische Koordinatensystem falsch ist: Es verbirgt lediglich einen Teil des hamiltonschen Charakters des Systems. In manchen Situationen kann es sogar sinnvoller sein, ein nicht-kanonisches Koordinatensystem zu verwenden, da die physikalische Interpretation der Zustände im Phasenraum möglicherweise transparenter ist.

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Michael Seifert

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Giovanni Aquaviva

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