Folge, Satz der monotonen Konvergenz.

Nehme an, dass X 0 ≥ 2 Und X N = 2 + X N − 1 − 2 für alles natürlich N . Verwenden Sie den Satz von der monotonen Konvergenz, um dies zu beweisen X N → 2 oder X N → 3 als N wächst.

Versuch: Angenommen, das X 0 ≥ 2 Und X N = 2 + X N − 1 − 2 für alles natürlich N . Dann sagt der Satz der monotonen Konvergenz, wenn die Folge zunimmt und nach oben begrenzt oder abnimmt und nach unten begrenzt wird, dann konvergiert die Folge zu einem Grenzwert.

Dann wenn X 0 = 2 wir haben X N = 2 für alle N .

Ich weiß nicht, wie ich weitermachen soll. Ich weiß, ob ich die Grenze von finde X N auf beiden Seiten bekommen wir dann X = 2 oder 3 . Aber ich weiß nicht, wie ich es beweisen soll. Bitte jedes Feedback / Hinweis oder Hilfe wird geschätzt. Danke schön.

Versuchen Sie, Induktion zu verwenden, um die monotone Natur der Folge zu beweisen, wenn X 0 > 3 Und 2 < X 0 < 3 .

Antworten (1)

Lassen F ( X ) = 2 + X − 2 . F hat zwei Fixpunkte: F ( 2 ) = 2 Und F ( 3 ) = 3 . Betrachten Sie die Grafik von F :Diagramm von $f$

Wenn X 0 ≠ 2 , 3 es gibt zwei möglichkeiten:

  1. 2 < X 0 < 3 . Dann zeig das 2 < X N < 3 , Das { X N } steigt und dass die Grenze ist 3 . (Hinweis: F ( X ) > X An ( 2 , 3 ) .)
  2. X 0 > 3 . Dann zeig das X N > 3 , Das { X N } abnimmt und dass die Grenze auch ist 3 . (Hinweis: F ( X ) < X An ( 3 , ∞ ) .)
Folge, Satz der monotonen Konvergenz.
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