Frage zur Indexnotation und zum metrischen Tensor

Ja, für die Matrizenmultiplikation setzen wir normalerweise die Dummy-Indizes zusammen, aber das ist (vorausgesetzt, man arbeitet nicht weiter$\mathbb{H}$) Konvention wirklich.

Vergessen Sie nicht, dass dies eine Abkürzung der Einstein-Konvention ist.

Wenn du schreibst

$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{ij} B_{jk} = \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{jk}$$

Sie schreiben eine Kurzfassung in Einstein-Konvention. Was dies für ein einzelnes Matrixelement ist

$$(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})_{i j} = A_{ij} B_{jk} = \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{jk} = \sum_{j=1}^n B_{jk} A_{ij}$$

vorausgesetzt, dass Ihre Matrizen sind$n\times n$Matrizen, da reellwertige (oder komplexwertige) Zahlen pendeln.

Wenn wir jedoch immer daran denken, die Einstein-Konvention einzuhalten, spielt es für die Tensorrechnung keine Rolle$^{\dagger}$, da unsere Metrik in der Speziellen Relativitätstheorie symmetrisch ist.

Also konnte ich schreiben

$$g^{\mu \nu} = \Lambda^{\mu}_{\space \space \alpha} \Lambda^{\nu}_{\space \space \beta} g^{\alpha \beta} = \Lambda^{\mu}_{\space \space \alpha} g^{\alpha \beta} \Lambda^{\nu}_{\space \space \beta} = g^{\alpha \beta} \Lambda^{\mu}_{\space \space \alpha} \Lambda^{\nu}_{\space \space \beta}$$

sagen, da wir das wissen

$$g^{\mu \nu} = g^{\nu \mu}$$

Solange wir beim Summieren der Indizes wie angegeben vorsichtig sind, sind diese alle gleich.

Nun zu Ihrer zweiten Frage, ich weiß nicht genau, was Sie fragen, da Sie sagen, dass Sie verstehen, woher der Ausdruck kommt. Die Wirkung des Metrix-Tensors besteht darin, Indizes zu erhöhen und zu verringern.

Für den ersten Ihrer Matrizentensoren im zweiten Ausdruck gilt also:$g^{\lambda \mu}$, sagen wir, wir sehen, dass es mit dem zusammengezogen wird$\mu$Index Ihres Lorentz-Transformationstensors und erhöht diesen Index auf a$\lambda$.

Seit$g^{\lambda \mu}$symmetrisch ist, wie ich schon sagte, vielleicht würden Sie das klarer sehen, wenn Sie es so schreiben würden

$$g^{\lambda \mu} \Lambda^{\rho}_{\space \space \mu} = g^{ \mu \lambda} \Lambda^{\rho}_{\space \space \mu} = \Lambda^{\rho \lambda}$$

Manchmal ist es einfacher zu sehen, ob die kontrahierten Indizes "auf der gleichen Seite" sind, in diesem Fall links, und manchmal, wenn der freie Index,$\lambda$hier ist auf der 'gleichen Seite, auf der es enden wird', in diesem Fall wieder auf der linken Seite.

Was Ihre letzte Frage betrifft, nun, darüber habe ich noch nie nachgedacht, aber für$\Lambda$eine Lorentz-Transformation, die wir haben

$$\Lambda \in \mbox{SO}(3,1)$$

In diesem Fall würde ich sagen, ja, die Umkehrung ist nur die Transponierung für orthogonale Matrizen

$$\Lambda \Lambda^{T} = I$$

So

$$\Lambda^{T} = \Lambda^{-1}$$

Ich hoffe das hilft!

$\dagger$Ich sollte einen Haftungsausschluss hinzufügen, wenn Sie Supersymmetrie mit Weyl-Fermionen machen, ist Ihre 'Metrik' antisymmetrisch, also spielt es in diesem Fall eine Rolle, weil

$$\epsilon^{\mu \nu} = - \epsilon^{\nu \mu}$$

und es gibt einen Unterschied bei der Summierung von 'Nordosten',$\nearrow$und 'Südosten'$\searrow$.

Mir ist klar, dass dies hier nicht auf Sie zutrifft, da Sie Special Rel. machen, aber ich wollte nur nicht, dass Sie denken, dass dies immer der Fall ist.