Frage zur Schwerkraft in 1 Dimension

Newtonisch . Zunächst sollten wir beachten, dass in Newtons Abstandsquadratgesetz für die Gravitation$F\propto 1/r^2$die macht 2 ist wirklich$D-1$, Wo$D$ist die räumliche Dimension. Also im 1D-Fall die Kraft$F$zwischen zwei Punktmassen ist unabhängig von der Trennung zwischen ihnen:

$$m_1 \ddot{x}_1 = G m_1 m_2\, \mathop{\mathrm{sgn}}(x_2-x_1).$$ Daher die geschlossene Form der Trennungsgleichung $d$Ist $$\ddot{d} = - G (m_1+m_2).$$ Dies ergibt einfach die aus der Bewegung im konstanten Beschleunigungsfeld bekannte Parabel.

Newtonsche Gravitation + spezielle Relativitätstheorie . Dies ist kein intern konsistentes Modell. Hier erkläre ich warum das so ist.

Allgemeine Relativitätstheorie . GR in einer Dimension (genauer gesagt 1+1-Dimension, wobei +1 die Zeit bezeichnet) ist wirklich einfach: Die Einstein-Gleichungen für den leeren Raum bedeuten, dass die Raumzeit lokal flach sein muss. Zwischen zwei Punktmassen gibt es also keine Gravitationskraft, und sie würden sich weiterhin mit konstanter Geschwindigkeit bewegen.

Dilatonische Schwerkraft . Anstelle der „normalen“ allgemeinen Relativitätstheorie ist das sehr interessante „Spielzeug“-Modell für Gravitationskräfte in 1+1-Dimensionen die Dilatongravitation , die viele interessante Merkmale der höherdimensionalen allgemeinen Relativitätstheorie bietet, einschließlich schwarzer Löcher und Gravitationsanziehung zwischen Punktquellen. Tatsächlich gibt es mehrere Modelle der 1+1-Dilaton-Schwerkraft, die sich auf verschiedene Wahlmöglichkeiten für die Begriffe wie Dilaton-Potenzial beziehen. Wenn Sie mit GR vertraut sind, verweise ich Sie auf die Rezension hep-th/0204253 für zusätzliche Informationen.

Nun, die Bewegung von Punktmassen in dieser Dilatongravitation ist eine ziemlich interessante Frage. Es stellt sich heraus, dass das Zwei-Körper-Problem in einem solchen Modell eine explizite allgemeine relativistische Behandlung erlaubt und Ergebnisse liefert. Die Berechnungen finden Sie in dem Papier:

Mann, RB, & Ohta, T. (1997). Exakte Lösung für relativistische Zweikörperbewegung in der Dilatongravitation . Classical and Quantum Gravity, 14(5), 1259. arXiv:gr-qc/9607016 .

und ein Folgepapier:

Mann, RB, Robbins, D., & Ohta, T. (1999). Exakte relativistische Zweikörperbewegung in linearer Gravitation . Physical Review Letters, 82(19), 3738. arXiv:gr-qc/9811061

Obwohl die Lösungen "exakt" sind, sind die Gleichungen ziemlich unhandlich und beziehen sich auf die Lambert-W -Funktion. Die obigen Papiere enthalten jedoch Zahlen wie dieses Diagramm der Trennung gegenüber der Eigenzeit für verschiedene Massen (kleinere Massen bedeuten eine relativistischere Lösung). :