Gaußsches Gravitationsgesetz, um das Gravitationsfeld eines endlichen Stabes zu finden

Um das Gravitationsfeld am Punkt P in der Abbildung zu finden:Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Eine Lösung besteht darin, das Feld einer Masse zu zeichnen

D G → = G D M R 2
und über integrieren D M , vektoriell addieren.

Wenn man jedoch das Gaußsche Gesetz für die Schwerkraft verwendet:

∮ G → ⋅ D A → = − 4 π G M
man kann das Feld des vertikalen Stabes leicht finden (indem man einen Gaußschen Zylinder betrachtet, der auf dem Stab mit der Höhe zentriert ist 2 A und Radius 2 A ).

Meine Frage ist, gibt es eine Möglichkeit, es auch auf die horizontale Stange anzuwenden?

Danke.

Sie irren sich, wenn Sie glauben, dass Sie das Feld des vertikalen Stabs so finden können, wie Sie es beschreiben.
Die Verwendung des Gaußschen Gesetzes erfordert eine Art Symmetrie, die das Oberflächenintegral zu einem einfachen Multiplikationsproblem macht (Fläche mal konstanter Fluss). Nirgendwo bietet dieses Problem diese Möglichkeit.
Es gibt viele Fragen zur elektrischen Version davon: Sie können das G-Gesetz nicht anwenden, da es keine Oberfläche gibt, auf der der Fluss konstant ist. Beachten Sie als offensichtliche Beobachtung, dass die linke Seite Ihrer ersten Gleichung ein Vektor ist, während die rechte Seite ein Skalar ist, sodass dies nicht korrekt sein kann.

Antworten (2)

Das Gaußsche Gesetz ist ein wichtiges Gesetz, und wenn es zum ersten Mal eingeführt wird, wird es auf einfache Situationen angewendet, um zu zeigen, dass es Werte für Gravitationsfelder vorhersagt, die mit denen übereinstimmen, die bei der Verwendung des Abstandsquadratgesetzes gefunden werden.

Sie beginnen also mit einer Punktmasse und zeichnen ein Gaußsches Kugelzentrum auf die Masse um sie herum.
Die Anwendung des Gaußschen Gesetzes ist einfach, da das Gravitationsfeld senkrecht zur Oberfläche steht und eine konstante Größe hat, also das Produkt E → ⋅ D A → = E D A und damit kann die Größe des Feldes gefunden werden.

Betrachten Sie nun den Versuch, das Gravitationsfeld aufgrund von zwei Massenpunkten zu finden.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Der rote Gaußsche Zylinder mag also die erste Wahl sein, jedoch treten sofort zwei Probleme auf, wenn man das Gaußsche Gesetz anwenden will.
Die Gravitationsfeldlinien stehen nicht im rechten Winkel zur Oberfläche und die Größe des elektrischen Felds ist nicht an jedem Punkt der Gaußschen Oberfläche gleich.

Die grünen Linien sind Äquipotentialflächen, die im rechten Winkel zur Feldlinie stehen und daher als Gaußsche Fläche verwendet werden können, aber denken Sie an die Komplexität der Integration.

Ihr Stab kann als eine Reihe von Punktmassen betrachtet werden, die alle in einer Reihe aufgereiht sind, was die Komplexität der Integration erhöht.
Die gleichzeitige Verwendung des Gaußschen Gesetzes für beide Ladungen wird also ein Nichtstarter sein.
Es ist besser, Gauß (oder das umgekehrte Quadratgesetz) für jede Ladung einzeln zu verwenden und dann das resultierende Feld durch Überlagerung zu finden.

Dies veranschaulicht den Punkt, dass eine einfache Anwendung des Gaußschen Gesetzes eine Symmetrie des Systems erfordert, und diese relativ einfachen Beispiele, bei denen das Gaußsche Gesetz verwendet wurde, wurden sorgfältig ausgewählt.

Wir verwenden das Gaußsche Gesetz, um das Feld zu finden, wenn es einfach ist, das Oberflächenintegral zu berechnen, und das Feld auf der Oberfläche konstant ist, sodass wir das Feld als konstant nehmen, das Integral berechnen und das Feld erhalten können.

Bei zwei Stäben ist es nicht möglich, eine Fläche zu betrachten, deren Flächenintegral einfach zu berechnen ist und deren Feld konstant ist.

Es ist besser, hier Superposition zu verwenden, um das Feld zu berechnen.

Gaußsches Gravitationsgesetz, um das Gravitationsfeld eines endlichen Stabes zu finden
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