Gabriele Veneziano, starke Kernkraft und Beta-Funktion

Physiker arbeiten nie so, das ist eine extreme Karikatur, die ein Witz wäre, wenn sie nicht tragisch wäre. Veneziano passte experimentelle Daten nicht an eine mathematische Funktion an, er verwendete allgemeine Prinzipien, um abzuleiten, was eine selbstkonsistente Streuamplitude auf Baumebene in einer Theorie unendlich vieler Teilchen auf geradlinigen Regge-Trajektorien bildet, die der Dolen-Horn-Schmidt-Dualität gehorchen. haben müssen.

Diese Geschichte haben sich die Leute später ausgedacht, um den Ursprung der Stringtheorie in der S-Matrix-Theorie der 1960er Jahre zu verschleiern. Die S-Matrix-Leute, die die Stringtheorie gemacht haben, waren alle politische Verlierer, ihre Theorie war zu fortgeschritten, als dass Menschen ohne Internet sie verstehen und verbreiten könnten. Dank Wittens Weitsicht und politischer Schlagkraft kehrte sich die Situation 1984 um, als Witten verstand, dass die Stringtheorie tatsächlich Sinn machte. Aber die meisten Leute, die sich in den 1980er Jahren mit der Stringtheorie beschäftigten, lehnten die Regge-Theorie und die S-Matrix-Theorie immer noch ab, weil der Kampf zwischen der S-Matrix und der Feldtheorie in den 1960er Jahren 1974 mit dem totalen Sieg der Feldtheorie und all dieser Leute endete waren auf der Gewinnerseite.

Die meisten der ursprünglichen S-Matrix-Leute sprangen auch aus politischer Notwendigkeit (und der unbestreitbaren Tatsache, dass die nichtabelsche Eichfeldtheorie interessant und korrekt für die starken Wechselwirkungen war, und auch nach t'Hooft gab es eine Menge niedrig hängender Früchte und Veltmans revolutionäre Arbeit). Die meisten der ursprünglichen Stringtheoretiker, die 1968-1974 die Proto-String-Theorie entwickelten, wechselten das Fachgebiet: Sie studierten Feldtheorie von 1974 bis 1984. Dazu gehören Veneziano, Gross und Susskind. All diese Leute nahmen die Stringtheorie 1984 wieder auf, als es politisch in Ordnung war. Man kann es ihnen nicht wirklich verübeln, da jeder, der die S-Matrix studiert, in den 1970er Jahren als Teil der konservativen Konterrevolution der Babyboomer abgetan wurde. Alles, was nach logischem Positivismus roch, wurde aus der akademischen Welt geworfen, einschließlich der S-Matrix-Theorie.

Die gefälschte Geschichte, dass „Veneziano in ein Mathematikbuch geschaut, die Beta-Funktion gefunden und festgestellt hat, dass es sich um eine streuende Amplitude handelt“, wurde von Leuten erfunden, die nicht verstanden, was Veneziano tat. Dies ist nicht wahr, und Veneziano war verbittert darüber, dass seine Arbeit (die hartes Nachdenken und einige der inspiriertesten mathematischen und physikalischen Argumente in der Geschichte der Physik erforderte) auf diese Weise falsch dargestellt wurde.

Veneziano leitete die Open-String-Tachyon-Streuamplitude aus den Prinzipien der Regge-Theorie und der S-Matrix-Theorie ab und war gezwungen, die Beta-Funktion zu verwenden, um die folgenden Bedingungen alle funktionieren zu lassen:

• Die Streuamplitude (auf Baumebene) sollte immer dann einen Pol haben, wenn die Energie auf eine Teilchenmasse trifft.
• Entlang einer Bahnfunktion sollten unendlich viele Teilchen liegen$\alpha(s)$die den Spin der Teilchen durch eine Gerade mit universeller Steigung (alle Mesonen liegen auf diesen Geraden) mit der quadratischen Masse in Beziehung setzen.
• Der Rest des Pols sollte positiv sein (erforderliche Einheitlichkeit).
• Das Residuum des Pols in s als Funktion von t sollte das geeignete Polynom in t sein, um die erforderliche Winkelabhängigkeit der Streuung von Teilchen mit variierendem Spin zu reproduzieren.
• Die Streuamplitude sollte analytisch von den Polen entfernt sein (in Baumordnung).
• Die Amplitude sollte kreuzungsinvariant sein (deshalb ist Venezianos Amplitude eine Summe von drei Beta-Funktionen).
• Die Streuamplitude sollte der entsprechenden Regge-Skalierung in s gehorchen, so dass die Breite der Streuung bei hohen Energien entsprechend schrumpfen sollte.
• Die Masse des Teilchens, das hereinkommt, um die Streuung durchzuführen, sollte mit den Teilchen in der Theorie identifizierbar sein (Sie sollten in der Lage sein, jedes der ausgetauschten Zwischenteilchen auf die ausgehenden Beine zu setzen).

und die wichtigste Eigenschaft (induziert aus Experimenten zu den starken Wechselwirkungen von Dolen Horn und Schmidt):

• Die Amplitude sollte nicht wie in der Feldtheorie eine Summe über t und s-Austausch von Teilchen sein, sondern der t-Austausch sollte dual zum s-Austausch sein, indem die Summierung über alle im t-Kanal ausgetauschten Teilchen die s- Kanalstangen.

Diese Bedingungen sind so streng (insbesondere die letzte), dass die Leute behaupteten, zu beweisen, dass es 1968 keine Lösung gibt. Veneziano machte diesen Behauptungen ein Ende, indem er die im Wesentlichen einzigartige Lösung für diese Einschränkungen lieferte. Beginnend mit der B-Funktion (mehr oder weniger die Beta-Funktion)

$$B(s,t) = {\Gamma(-(s-\alpha(s)))\Gamma(-(t-\alpha(t)))\over\Gamma(-(s+t-\alpha(s+t)))}$$

und durch Kreuzen symmetrieren, um eine Streuamplitude zu erzeugen

$$A(s,t) = B(s,t) + B(u,t) + B(s,u)$$

(beachten Sie, dass$B(x,y)=B(y,x)$) Wobei s,t,u die Mandelstam-Variablen sind, und$\alpha(x) = ax+b$die geradlinige Regge-Trajektorie ist, lösen Sie die Selbstkonsistenzbedingungen auf Baumebene.

Diese Geschichte ist in zwei hervorragenden Übersichtsartikeln zusammengefasst, die beide in "Dual Models" (einer Nachdrucksammlung von 1984) erschienen sind. Ein Artikel ist Mandelstams Dual-Resonance Models von 1974.

Veneziano fand die Funktion B(x,y) durch seine eigenen Methoden, die eine tiefe Intuition der Regge-Theorie erforderten. Das erste ist, dass eine Regge-Trajektorie Pole an unendlich vielen positiven Positionen hat. Die Gamma-Funktion

$$\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x} dx$$

hat die Eigenschaft, dass es an allen negativen ganzzahligen Positionen Pole hat, was aus der Funktionsgleichung folgt:

$$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$$

Was definiert$\Gamma$als Verallgemeinerung der Fakultätsfunktion auf nicht ganzzahlige Werte:$\Gamma(n)=(n-1)!$. Mit der Funktionsgleichung für negative Werte von s erhält man eine Division durch 0, sobald man 0 erreicht, und man erhält Pole mit einem Residuum, das an negativen Stellen faktoriell anwächst.

Dies war in der Welt der Regge-Theorie bekannt, und die Gamma-Funktion wurde Ende der 1960er Jahre für phänomenologische Regge-Amplituden verwendet. Aber diese phänomenologischen Anpassungen haben nicht funktioniert, um eine vollständig konsistente Theorie zu erstellen, nur um ein paar Streuamplituden mehr oder weniger richtig auf die niedrigste Ordnung im Regge-Austausch zu bringen. Solche Amplituden findet man Ende der 60er Jahre überall in der Literatur. Diese Arten von Amplituden bewirken die Nahstrahlstreuung, die einige paradoxe Eigenschaften hat – sie schrumpft im Winkel bei hohen Energien gemäß einer Überlagerung von Potenzgesetzen, wobei jedes einzelne Potenzgesetz dem Austausch einer Folge von entspricht regelmäßig beabstandete Teilchen mit höherer Masse und höherem Spin, die durch verwandt sind$m^2 = a J + b$(eine gerade Linie aus Masse im Quadrat zum Spin) mit dem Koeffizienten a, der für alle Trajektorien gleich ist (außer dem Pomeron, aber ignorieren Sie dies) und b von Trajektorie zu Trajektorie unterschiedlich ist.

Die integrale Form der Gammafunktion war auch als Analogon der Regge-Theorie zur Schwinger-Darstellung von Teilchenpropagatoren durch die Eigenzeit bekannt (aber das ist nicht ganz richtig – die richtige Verallgemeinerung ist das Weltblatt, aber das kam viel später ). Niemand vor Veneziano hatte eine konsistente Verallgemeinerung unter Verwendung von Gamma-Funktionen der Feldtheorie-Propagatoren, da die Teilchen bei allen Energien nicht vollständig konsistent streuten.

Die Beta-Funktion kann als (der Kehrwert von) einer Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten auf nicht ganzzahlige Werte betrachtet werden:

$${a +b \choose b} = {(a+b)!\over a!b!}$$

Was in Gammaform und ohne einige offensichtliche Faktoren, die die Dinge nur um eine Einheit verschieben, mehr oder weniger ist

$${\Gamma(x+y) \over \Gamma(x)\Gamma(y)} = {1\over \beta(x,y)}$$

Die Sache, die hier passiert, ist, dass die doppelten Nullen, die Sie erwarten, wenn x und y beide negative ganze Zahlen sind, zu einfachen Nullen geglättet werden, weil sie durch gelöscht werden$\Gamma(x+y)$. Diese Aufhebung ist durch die Einheitlichkeit erforderlich, da der Kehrwert davon die Amplitude ist und Sie in einer Streuamplitude keinen Doppelpol haben können. Sie müssen die Doppelpole aufheben, und dies bestimmt den dritten Gammafaktor im Wesentlichen eindeutig (da die Pole einer analytischen Funktion die Funktion bis zur Asymptotik bestimmen).

Diese Form ist im Wesentlichen eine von nur zwei einfachen Amplituden, die der Bedingung gehorchen, dass sie als lineare Regge-Trajektorien für den Austausch auf Baumebene betrachtet werden kann (die andere ist die geschlossene Saitenamplitude von Koba und Nielsen, die ein ähnliches Produkt von drei Gammafunktionen beinhaltet). .

In seinen frühen Arbeiten bemerkte Veneziano, dass Euler diese Funktion (aus anderen Gründen) bereits definiert hatte, und gab ihr eine Reihe interessanter Identitäten, einschließlich

$$\beta(x,y) = \int_0^1 q^{x-1} (1-q)^{y-1} dq$$

Diese Identität könnte das sein, was er in einem Mathematikbuch gefunden hat (vielleicht, vielleicht auch nicht, Sie können ihn fragen), und diese Identität war von entscheidender Bedeutung: Sie ermöglichte es Veneziano, ein 1-D-Bild der Streuung zu machen, wo es ein Inneres gibt sigma-Variable, die steuert, "wo" jeder Beitrag zur Streuung stattfand. Durch Einfügen des entsprechenden Faktors an der richtigen Stelle$q$, konnte Veneziano seine Streuamplitude verallgemeinern, um die richtige Amplitude für die Streuung der anderen Teilchen in der Theorie zu finden. Diese Amplitude ist nicht willkürlich, weil er bereits aus der Tachyon-Amplitude wusste, wo sich alle Teilchen in der Theorie in Bezug auf Masse und Spin befanden. Aber das q-Bild brachte ihn auf die Idee, lokale Operatoren einzuführen, um die Art der Teilchen zu ändern.

Also haben Venziano und Fubini Knotenoperatoren eingeführt, die in lokalisiert sind$q$. Die Variable$q$wird jetzt verstanden, um die Endpunktposition des offenen Strings zu parametrisieren, an der die Partikel nach einer konformen Karte in die Scheibe eintreten, aber die Entwicklung dauerte eine Weile. Der Scheiteloperator-Formalismus entspricht im Wesentlichen dem modernen String-Weltblatt, aber es erforderte die Erkenntnis, dass es in der Theorie einen internen String gibt, etwas, das nicht offensichtlich ist. Dies wurde von Susskind, Nielsen und Nambu und auch von Ramond durchgeführt, die jeweils ein etwas anderes Bild davon hatten, wie das innere Saitenbild aussah. Susskind und Nambu hatten die richtige Idee, und daraus entwickelt sich dann die Stringtheorie logisch.

Es ist unmöglich, die eigentliche Geschichte der Stringtheorie von Feldtheoretikern oder populären Werken zu lernen. Das Lesen der Originalartikel ist unerlässlich. In den letzten Jahren gab es auch eine Reihe von Übersichts- und Geschichtsartikeln der ursprünglichen Autoren zu arxiv, die helfen, die Geschichte richtig zu sortieren.