Galileische Invarianz im Elektromagnetismus

Letztendlich erfordert die Erklärung, wie Sie sagten, dass wir uns auf die spezielle Relativitätstheorie berufen. Diese Erklärung könnte jedoch zunächst undurchsichtig sein, daher werde ich nach dem Skizzieren der SR-Berechnung eine physikalische Interpretation hinzufügen.

Die elektrischen und magnetischen Felder bilden Komponenten eines 2-dimensionalen Tensors ,$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$, Wo$A_\mu$ist ein Vierervektor$^\star$deren Komponenten durch die normalen Skalar- und Vektorpotentiale gegeben sind:$A_0=\phi$Und$A_i$sind die Komponenten des Vektorpotentials$\vec{A}$, in Einheiten wo$c=1$.

Der Grund dafür ist, dass es keinen Sinn macht zu sagen, dass Sie nur ein Magnetfeld in zwei verschiedenen Frames haben. In einem der beiden von Ihnen erwähnten Rahmen müssen Sie ein elektrisches Feld haben. Dies ist eine Folge der Transformationsgesetze

$$\begin{eqnarray} \vec{E}'_{||} &=& \vec{E}_{||} \\ \vec{B}'_{||} &=& \vec{B}_{||} \\ \vec{E}'_{\perp} &=& \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}_\perp )\\ \vec{B}'_{||} &=& \gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}_\perp ) \end{eqnarray}$$ wobei grundierte Mengen im geboosteten Rahmen und ungrundierte im Originalrahmen ausgewertet werden,$\gamma=\sqrt{1-v^2}$ist der übliche Lorentzfaktor,$\vec{B}_{||}$bezieht sich auf die Komponenten von$\vec{B}$parallel zur Geschwindigkeit des Boosts,$\vec{B}_\perp$bezieht sich auf die Komponente des Magnetfelds senkrecht zur Geschwindigkeit, ich habe die gleichen Definitionen für das elektrische Feld vorgenommen und zur Erinnerung eingestellt$c=1$.

Also wenden wir jetzt diese Formeln an. Nehmen wir an, dass sich der Ring im Originalbild bewegt$x$Richtung, und das Feld ist rein magnetisch und das Magnetfeld zeigt in die$z$Richtung. Dann die Lorentzkraft$\vec{F}\propto \vec{v}\times \vec{B}$wird in die zeigen$y$Richtung. Dann finden wir im Ruhesystem des Rings, dass es ein elektrisches Feld mit a geben muss$y$Komponente gegeben durch

$$\begin{equation} E_y' = - \gamma v_x B_z \end{equation}$$ Dieses elektrische Feld liefert die Kraft in der$y$Richtung, über die Sie sich Sorgen gemacht haben.

OK, aber das beantwortet nicht genau die Frage, woher diese elektrische Kraft kommt? Die Antwort ist, dass Sie eine Idealisierung vorgenommen haben, indem Sie ein unendlich großes Magnetfeld betrachtet haben, und dabei den Überblick darüber verloren haben, was das Magnetfeld überhaupt erzeugt. Es muss offensichtlich einige Ströme "im Unendlichen" geben, aber keine Nettoladung, da kein elektrisches Feld vorhanden ist. Sie müssen die Längenkontraktion berücksichtigen, wenn Sie den Boost anwenden, der dazu neigt, eine Nettoladungsdichte zu erzeugen, gemäß einer Analyse, die (zum Beispiel) in dem Buch von Purcell enthalten ist.

Nachdem dies alles gesagt ist, was in diesem Fall passieren wird, ist, dass negative Ladungen dazu neigen, sich am Maximum des Rings "anzuhäufen" und am Minimum des Rings entlang zu "abbauen".$y$Richtung. Diese Ladungstrennung stellt eine elektrische Gegenkraft bereit, die jedem Strom entgegenwirkt und ihn schließlich stoppt. Es gibt also keinen Strom, wenn der Ring das Gleichgewicht erreicht. Dies mag ein Grund sein, warum dieser Fall normalerweise nicht explizit untersucht wird.

Einstein betrachtete ein verwandtes Problem als Motivation für die spezielle Relativitätstheorie. Er betrachtete nicht das Problem eines konstanten Magnetfelds über den ganzen Raum, sondern einen endlichen Leiter, der das Magnetfeld erzeugt, das durch Induktion einen konstanten Strom erzeugen könnte. Die Tatsache, dass es in verschiedenen Rahmen unterschiedliche Erklärungen dafür gab, warum es eine Strömung gab (Bewegungs-EMK vs. Lorentz-Kraft), störte ihn, und er erklärt seine Motivation für die Entwicklung der speziellen Relativitätstheorie in seiner klassischen Arbeit von 1905 darin, eine tiefere Erklärung zu geben, die funktioniert irgendein Trägheitsbezugssystem.

$^\star$Nun, wenn Sie auf die Eichinvarianz achten,$A_\mu$ist nicht wirklich ein 4-Vektor, aber lassen Sie uns das ignorieren.