Gemischter Zustand nach der Messung

Dies ist nur die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie, beachten Sie insbesondere das Theorem

$p(m)*p(i|m) = p(i)*p(m|i)\;\;[=p(i\text{ and } m)]$.

Wiederholen Sie das Experiment enorm oft$N$. Aus diesen Wiederholungen$N*p(i)$sind der Staat$|x_i\rangle$. Von diesen,$N*p(i)*p(m|i) = N*p(m)*p(i|m)$ergeben das Messergebnis$m$. Also aus dem Ensemble von$N*p(m)$Messungen, die ein Ergebnis haben$m$, eine Fraktion$p(i|m)$im Staat gestartet$|x_i\rangle$.

Der Zustand nach der Messung wird auf die übliche Weise berechnet: Wenn Sie eine Observable mit spektraler Zerlegung messen$X = \sum_x x \ P_x$,$P$Da es sich um die Projektoren handelt, ist der Status nach der Messung das Ergebnis$x$ist einfach

$\rho_x = \ P_x \ \rho \ P_x$

(bis zur Normalisierung)

Um dies sauber aus dem ursprünglichen Postulat über reine Zustände abzuleiten, können Sie eine Reinigung für in Betracht ziehen$\rho$, das ist ein Vektor$|\psi \rangle$größerer Hilbertraum$A \otimes B$so dass

$\rho = \rm{Tr}_B [|\psi \rangle \langle \psi|]$

$\rm{Tr}_B$ist die Teilspur vorbei$B$, eine Operation, die einen Operator in ergibt$A$. Nun, wenn Sie messen$X \otimes \rm{id}$in diesem größeren Raum, und erhalten Sie das Ergebnis$x$, ist der Zustand nach der Messung

$|\psi_x \rangle = P_x \otimes \rm{id} \ \ |\psi \rangle \langle \psi|\ \ P_x \otimes \rm{id}$

Es ist möglich (und einfach), das zu zeigen$\rho_x = \rm{Tr}_B[|\psi_x \rangle \langle \psi_x|$, wie gewünscht. Für weitere Details empfehle ich Ihnen dieses Papier http://arxiv.org/abs/1110.6815 .