Geschwindigkeitsamplitude und Geschwindigkeitsresonanz im Forced Harmonic Oscillator

Geschwindigkeitsresonanz ist der Zustand, wenn Ihr System die höchste Geschwindigkeitsamplitude hat und die Geschwindigkeitsamplitude die höchste Geschwindigkeit ist, die Ihr System während der Oszillation erreichen kann.

In einem erzwungenen harmonischen Oszillator hat die Lösung für die Verschiebung im stationären Zustand die Form$x = A\cos(\omega t - \psi)$Wo$\omega$die Antriebsfrequenz und A die Schwingungsamplitude ist.$\psi$und A haben die folgende Form:

$A = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \omega^2\gamma^2}}$

$\psi = \tan^{-1}(\frac{\omega\gamma}{\omega_0^2 - \omega^2})$

Ich habe eine etwas andere Schreibweise verwendet.$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ist die Eigenfrequenz des Oszillators,$\gamma = 2b$(gemäß Ihrer Notation) ist die Dämpfungsrate und$F_0 = mf_0$(wieder gemäß Ihrer Notation) ist die treibende Kraft.

Wenn Sie nun A mit differenzieren würden$\omega$und mit Null gleichsetzen, erhalten Sie den Wert von$\omega$wodurch A maximiert wird. Dies wird als Amplitudenresonanz bezeichnet und tritt bei auf$\omega = (\omega_0^2 - \frac{\gamma^2}{2})^{1/2}$

Als nächstes haben wir aus der einfachen Differenzierung$v = -A\omega\sin(\omega t - \psi)$. die Geschwindigkeitsamplitude ist$A\omega$. Für eine Geschwindigkeitsresonanz müssen wir an wählen$\omega$so dass$A\omega$maximiert ist. Zum Maximieren kann dieselbe Methode wie zuvor befolgt werden$V_0 = A\omega$und es stellt sich heraus, dass es für maximiert ist$\omega = \omega_0$. Das würdest du auch finden$\psi = \pi/2$. Dies bedeutet, dass Geschwindigkeitsresonanz auftritt, wenn die treibende Kraft das System mit seiner Eigenfrequenz antreibt und a hat$pi/2$Phasenunterschied mit den Schwingungen.

Der Grund, warum der Sinusterm (oder der Cosinusterm wie in Ihrem Fall) nicht maximiert wird, ist, dass sich die Geschwindigkeit mit der Zeit ändert. Selbst wenn die Geschwindigkeitsamplitude maximal ist, gibt es eine Zeit ($t=\frac{\psi}{\omega}$) wenn Geschwindigkeit ist$0$. Die Amplitude bezeichnet einfach die maximal erreichbare Geschwindigkeit. Wenn Sie das System mit einer anderen Frequenz als betreiben würden$\omega_0$, ist die höchste Geschwindigkeit, die Ihr System während der Oszillation erreichen kann, geringer als die, die es erreichen kann, wenn es angetrieben wird$\omega_0$

das ist deine Differentialgleichung

$${\frac {d^{2}}{d{t}^{2}}}x \left( t \right) +{p}^{2}x \left( t \right) +2\,b{\frac {d}{dt}}x \left( t \right) ={\frac {f_{{0}}}{m}}$$

mit den Anfangsbedingungen in die Laplace-Domäne transformiert$~x(0)=0~,\dot x(0)=0~$Sie erhalten

$$x(s)={\frac {f_{{0}}}{m\,s \left( {s}^{2}+{p}^{2}+2\,b\,s \right) }}$$

die Geschwindigkeit$v=\dot x\,\Rightarrow\,v(s)=s\,x(s)$daher

$$v(s)={\frac {f_{{0}}}{m\, \left( {s}^{2}+{p}^{2}+2\,b\,s \right) }}$$

Ersatz$s\mapsto i\,\omega$und erhalte die Amplitude

$$|v(i\,\omega)|={\frac {f_{{0}}}{m\sqrt { \left( {\omega}^{2}-{p}^{2} \right) ^{2}+4\, {b}^{2}{\omega}^{2}}}}$$

Sie erhalten Resonanz bei

$$\left( {\omega}^{2}-{p}^{2} \right) ^{2}+4\,{b}^{2}{\omega}^{2}=0\\ \Rightarrow\\ \omega_r=\sqrt {{p}^{2}-2\,{b}^{2}\,\pm\,2\sqrt {-{p}^{2}{b}^{2}+{b}^{4}}}$$