Die derzeit veröffentlichten Antworten ignorieren einige wichtige Details, daher werde ich meine eigenen geben. Ich kann einige Dinge wiederholen, die bereits gesagt wurden. Um alles absolut klar zu machen, schreibe ich hier eine vollständige Herleitung des erzwungenen gedämpften Oszillators mit Betonung auf der Rolle des$Q$Faktor.

Grundlegende Gleichungen

Betrachten Sie die Bewegungsgleichung eines erzwungenen, gedämpften harmonischen Oszillators:

$$\ddot{\phi}(t)+2\beta\dot{\phi}(t) + \omega_0^2 \phi(t) = j(t) \,.$$

Hier$\beta$ist ein Reibungskoeffizient (für den Fall, dass die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit ist$\dot{\phi}$),$j$ist eine externe Zwangsfunktion, und$\omega_0$ist die ungedämpfte Frequenz des Systems.

Wir definieren die Fourier-Transformation$\tilde{\phi}(\omega)$durch die Gleichung

$$\phi(t) = \frac{1}{2\pi}\int \tilde{\phi}(\omega)e^{-i \omega t}\,d\omega\,.$$

Das Einsetzen der Fourier-Transformation in die Bewegungsgleichung ergibt

$$\phi(\omega) = \frac{\tilde{j}(\omega)}{-\omega^2 - 2i\beta \omega + \omega_0^2} = \frac{\tilde{j}(\omega)}{(\omega-\omega_+)(\omega - \omega_-)}$$

wo$\tilde{j}$ist die Fourier-Transformation von$j$und

$$\omega_{\pm}\equiv -i\beta \pm \omega_0' \qquad \omega_0'\equiv \omega_0\sqrt{1-\left( \frac{\beta}{\omega_0} \right)^2}\,.$$

Mein$\omega_0'$hast du angerufen$\omega_r$wenn wir setzen$\gamma / \sqrt{2} = \beta$. Beachten Sie, dass für leichte Dämpfung, dh der Fall$\beta \ll \omega_0$, wir bekommen$\omega_0' \approx \omega_0$.

Um die Bedeutung des Qualitätsfaktors zu verstehen$Q$wir untersuchen diese Gleichungen für zwei Fälle.

Freie Schwingung

Zuerst betrachten wir den Fall, wo die Zwangsfunktion nur ein sofortiger Schlag ist$t=0$. Dies sollte das System zum Schwingen bringen, jedoch mit abnehmender Amplitude, da Energie durch Reibung verloren geht. Mathematisch bezeichnen wir den momentanen Schlag als$j(t) = A \delta(t)$. Das gibt$\tilde{j}(\omega) = A$. Wir finden$\phi(t)$durch inverse Fourier-Transformation

$$\begin{align} \phi(t) &= \frac{1}{2\pi} \int \tilde{\phi}(\omega)e^{-i\omega t} \, d\omega \\ &= \frac{1}{2\pi} \int \frac{A e^{-i \omega t}}{(\omega-\omega_-)(\omega-\omega_+)} \, d\omega \\ &= \frac{A}{\omega_0'} e^{-\beta t} \sin(\omega_0' t) \, . \qquad(*) \end{align}$$ Lassen Sie uns dieses Ergebnis verstehen. Bei $t=0$das System ist an $\phi=0$. Das macht Sinn, weil wir darauf einschlagen $t=0$aber es hatte noch keine Zeit, irgendwohin zu gehen. Im Laufe der Zeit oszilliert es mit einer Frequenz $\omega_0'$aber mit abnehmender Amplitude. Beachten Sie, dass die Schwingungsfrequenz in diesem Fall nicht die ungedämpfte Frequenz ist $\omega_0$; es ist $\omega_0'$die sich durch die Reibung leicht verschiebt. Größere Reibung bewirkt eine größere Verschiebung dieser freien Schwingungsfrequenz. Wie Sie sehen können, führt eine größere Reibung natürlich auch dazu, dass die Amplitude schneller abnimmt, was Sinn macht.

Nun, was ist mit$Q$? Vermuten$\phi$stellt die Position einer Masse auf einer Feder dar. In diesem Fall ist die potentielle Energie des Systems proportional zu$\phi^2$. Ebenso, wenn$\phi$stellt den Strom in einer LRC-Schaltung dar, der dann der induktiven Energie proportional ist$\phi^2$. Zweimal pro Schwingung geht die gesamte Energie des Systems in die potentielle (oder induktive) Energie über. Aus Gl.$(*)$diese Energie ist

$$E(t) = E(0) e^{-2\beta t} \,.$$ Jetzt können wir leicht finden $Q$

$$Q \equiv \frac{\text{energy stored}}{\text{energy lost per radian}} = \frac{E(t)}{-\frac{dE}{dt} \frac{dt}{d\,\text{radians}}} = \frac{E(0)e^{-2\beta t}}{2\beta E(0) e^{-2\beta t}/\omega_0'} = \frac{\omega_0'}{2\beta} \,.$$

Das ist fast genau das gleiche wie Ihr Ausdruck$\left( \omega_0^2 - \gamma^2 / 2 \right)^{1/2} / \gamma$außer dass ich denke , dass Sie einen Faktor vermasselt haben$\sqrt{2}$irgendwo. Wie auch immer, der Punkt ist, dass Ihre "genauere" Formel für die$Q$Wert ist wirklich nur der$Q$erhält man, wenn man den Fall der freien Schwingung des gedämpften Systems betrachtet .

Steady-State-gesteuertes System

Betrachten wir nun den Fall, in dem das System einer konstanten Ansteuerung des Formulars ausgesetzt ist

$$j(t) = A \cos(\Omega t) \, .$$

Dann

$$\tilde{j}(\omega) = \frac{(2\pi)A}{2}(\delta(\omega - \Omega) + \delta(\omega + \Omega))\,.$$ Wenn wir das in das Integral stecken und losdrehen, erhalten wir

$$\phi(t) = \text{Re} \left[ e^{-i\Omega t} \frac{-A}{\Omega^2 + 2i\beta \Omega - \omega_0^2}\right]\, .$$

Betrachten wir den Fall, in dem wir mit der natürlichen Resonanzfrequenz fahren, dh$\Omega = \omega_0$. In diesem Fall bekommen wir

$$\phi(t) = \frac{A}{2 \beta \omega_0}\sin(\omega_0 t)\,.$$

Die von der Antriebskraft ausgeübte Kraft ist$\text{force}\times\text{velocity}^{[a]}$:

$$P(t) = j(t)\dot{\phi}(t) = \frac{A^2}{2\beta}\cos(\omega_0 t)^2 = \frac{A^2}{4 \beta}[1 + \cos(2\omega_0 t)] \, .$$ Beachten Sie, dass $P(t)$ist immer positiv . Das ist eigentlich die Definition von Resonanz: Die Resonanzfrequenz ist diejenige, bei der die vom Antrieb verrichtete Arbeit immer positiv ist. In einer elektrischen Schaltung ist dies dasselbe wie zu sagen, dass die Resonanzfrequenz diejenige ist, bei der die Impedanz des gedämpften Oszillators rein real ist. Keine andere Frequenz hat diese Eigenschaft, also haben wir das gerade gezeigt $\omega_0$die Resonanzfrequenz des gedämpften Systems ist $^{[b]}$. Da wir uns im stationären Zustand befinden, muss diese Arbeit auch genau die Arbeit sein, die das System an die Dämpfung verliert. Wir können daher die durchschnittliche Verlustleistung in einem Zyklus berechnen:

$$\langle P_{\text{loss}}\rangle = \frac{\omega_0}{2\pi} \int_{0}^{2\pi / \omega_0} P(t)\,dt = \frac{A^2}{4\beta}\,.$$

Groß. Lassen Sie uns nun die gespeicherte Energie berechnen. In Analogie zum Fall einer Masse an einer Feder wissen wir, dass die maximale potentielle Energie ist$^{[c]}$

$$U = \frac{1}{2} \phi_{\text{max}}^2 \omega_0^2 = (1/2)A^2 / 4\beta^2$$

und da wir uns wieder im stationären Zustand befinden, ist dies nur die gesamte gespeicherte Energie. deshalb, die$Q$Wert ist

$$Q \equiv \frac{\text{energy stored}}{\text{energy loss per radian}}= \frac{U}{\langle P_{\text{loss}}\rangle / \omega_0}= \frac{(1/2)A^2 / 4\beta^2}{A^2 / 4 \beta \omega_0} = \frac{\omega_0}{2 \beta} \, .$$

Dies ist der Ausdruck, der fast genau derselbe ist wie der, den wir für die freie Schwingung gefunden haben, außer dass wir ihn jetzt haben$\omega_0$Anstatt von$\omega_0'$. Beachten Sie, dass wir jetzt Ihre Frage Nr. 3 beantwortet haben, da wir gezeigt haben, dass für stationäres Fahren die$Q$Wert beinhaltet$\omega_0$, nicht der komplexere Ausdruck$\omega_0'$.

Beantworten Sie die ursprünglichen Fragen

Wir haben gesehen, dass wir zwei sehr leicht unterschiedliche Ausdrücke für erhalten können$Q$abhängig davon, ob wir eine freie Oszillation oder ein stationäres Fahren betrachten. In der Tat, wenn die Leute darüber reden$Q$Sie sprechen wirklich über das Fahren im stationären Zustand. um nicht verwirrt zu werden, sollte der andere ausdruck eigentlich nicht heißen "$Q$". Das heißt, für ein System, in dem$Q\gg1$Beide Ausdrücke geben sehr nahe Zahlen an, daher ist die Unterscheidung hauptsächlich akademisch.

1. Geht die pro Zyklus dissipierte Energie davon aus, dass die Amplitude von einem Zyklus zum nächsten konstant ist?

Ja, denn wenn Sie darüber sprechen$Q$Sie sprechen implizit über den stationären Fahrfall, bei dem von Zyklus zu Zyklus alles gleich ist.

2. Wird sie immer bei der Resonanzfrequenz berechnet?

Per Definition ja. Das$Q$ist definiert als die gespeicherte Energie dividiert durch den Energieverlust pro Radian im stationären Fahrfall mit Antrieb bei der Eigenschwingungsfrequenz$\omega_0$.

3. Wenn die Antwort auf 2 ja ist, können Sie erklären, warum für ein erzwungenes Oszillatorsystem mit einem Dämpfungskoeffizienten von$\gamma$und Eigenfrequenz$\omega_0$der Qualitätsfaktor ist$Q=\omega_0/\gamma$und kein komplizierterer Ausdruck, der die tatsächliche Resonanzfrequenz betrifft

Dies wurde in der obigen Diskussion/Berechnung ausführlich gezeigt.

Anmerkungen:

$[a]$: In der Tat aufgrund der Art und Weise, wie die Mengen hier eingerichtet sind, wenn$\phi$eine Verschiebung einer Masse auf einer Feder ist, dann ist das, was ich "Kraft" nenne, eigentlich "Kraft geteilt durch Masse".

$[b]$: Siehe diese SO-Frage , die ich speziell gepostet habe, um diese Antwort zu generieren.

$[c]$: Nochmals, wenn Sie durchgehen und mit dem Fall einer Masse auf einer Feder vergleichen, werden Sie sehen, dass ich einen Faktor der Masse weggelassen habe.

Nennen wir diese Gleichung A:

Q=2$\pi$(gespeicherte Energie)/(pro Zyklus abgegebene Energie)

und dieses B:

$Q=\omega_o/\gamma$

Gleichung A kann auf die freie Bewegung angewendet werden (was ich zuvor gesehen hatte), aber WP wendet sie auf die stationäre Reaktion auf eine treibende Kraft an.

Geht die pro Zyklus dissipierte Energie davon aus, dass die Amplitude von einem Zyklus zum nächsten konstant ist?

Ja, weil WP es auf die Reaktion im stationären Zustand anwendet und im stationären Zustand die Amplitude konstant ist. Wenn Sie es auf die freie Bewegung anwenden, variiert die Amplitude, und Gleichung A ist eine High-Q-Näherung.

Wird immer bei der Resonanzfrequenz gerechnet.

Nein, es ist unabhängig von der Ansteuerfrequenz. Die durch Dämpfung dissipierte Leistung ist$bv^2$, wo$b=m\gamma$. Wenn die Bewegung im stationären Zustand ist, dann ist sie sinusförmig, und die über einen Zyklus gemittelte Leistung ist gleich$(1/2)bv_{max}^2$, also die Arbeit, die in einem Zyklus geleistet wird$W=(1/2)bv_{max}^2\cdot 2\pi/\omega$. Die gespeicherte Energie ist$E=(1/2)mv_{max}^2$. Das Teilen dieser ergibt$2\pi E/W=m\omega/b=Q$, und dies ist unabhängig von$\omega$.

Wenn wir also eine Dämpfungskraft proportional zur Geschwindigkeit annehmen, dann ist A (angewandt auf die stationäre Reaktion) genau äquivalent zu B.

Wir stellen die vor$Q$Faktor, um zu beschreiben, wie viel Energie des Oszillators in einem Schwingungszyklus durch Reibung verloren geht. Damit es von praktischem Nutzen ist, muss die$Q$Faktor muss eine konstante (dh zeitunabhängige) Funktion der Parameter des Oszillators sein. Sie sollte gleichermaßen auf gedämpfte Schwingungen wie auch stationär angetriebene Schwingungen anwendbar sein. Im letzteren Fall hängt die Energie sowie der Energieverlust des Oszillators zusätzlich von der Frequenz der äußeren Kraft ab$\omega$. Seit$\omega$ist nicht der Parameter des Systems, es hat keinen Platz in der$Q$Faktor. Daher berechnen wir für angetriebene Schwingungen die$Q$Faktor für die Resonanzfrequenz$\omega = \omega_0$, wo$\omega_0$ist die (ungedämpfte) Frequenz des Oszillators.

Lassen Sie uns zunächst die berechnen$Q$Faktor für den gedämpften Oszillator. Hier die Energie des Oszillators$E(t)$ist zeitabhängig (oszillierend mit abklingender Amplitude$\sim e^{-t/\tau}$), so die natürliche Definition der$Q$Faktor wäre

$$Q = 2\pi \frac{E(t)}{E(t) - E(t+T)} = \omega_d \frac{E(t)}{\langle P \rangle (t)}.$$ Hier, $T = 2\pi/\omega_d$ist der Zeitraum und $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - (1/2\tau)^2}$ist die Frequenz gedämpfter Schwingungen. $\langle P \rangle (t)$ist der durchschnittliche Leistungsverlust durch Reibung. Nun, von der Tatsache, dass $E(t+T) = E(t) e^{-\frac{2\pi}{\omega_d \tau}}$, wir haben für die $Q$Faktor $$Q = \frac{2\pi}{1 - e^{-\frac{2\pi}{\omega_d \tau}}} \approx \omega_d \tau + \pi + \mathcal{O}\left(\frac{1}{\omega_d \tau}\right)\approx \omega_d \tau,$$ wobei die Näherung für sehr schwache Dämpfung gilt. Es sei darauf hingewiesen, dass die alternative Definition $$Q = \omega_d \frac{E(t)}{- \frac{d E}{dt}} = \omega_d \frac{E(t)}{P(t)}$$ führt nicht zu einer Zeitunabhängigkeit $Q$Faktor.

Für den stationär getriebenen Oszillator haben wir sofort

$$Q = \omega_0 \frac{E(t)}{\langle P \rangle (t)} = \omega_0 \frac{E}{\langle P \rangle} = \omega_0 \tau,$$ wo wir die Tatsache verwendet haben, dass $P = \frac{2}{\tau} E_\text{kin}$und $\langle E_\text{kin} \rangle = \frac{1}{2} E$für einen Oszillator, der mit seiner Eigenfrequenz schwingt.