Gibt ein ständig beschleunigendes geladenes Teilchen EM-Strahlung ab oder nicht?

Das ist eine alte, harte, umstrittene Frage. Es ist in gewissem Sinne nicht gut definiert, da es auf subtile Weise schwierig sein kann, die Unterscheidung zwischen einem Strahlungsfeld und einem nicht strahlenden Feld festzulegen. Vielleicht gibt es auch Zweideutigkeiten in der Definition von "lokal". Wenn eine Beschleunigungsladung abgestrahlt würde, würde dies ein Problem für das Äquivalenzprinzip verursachen.

Es gibt Argumente von klugen Köpfen, die behaupten, dass eine Beschleunigungsladung nicht strahlt (Harpaz 1999; Feynmans Standpunkt ist unter http://www.mathpages.com/home/kmath528/kmath528.htm dargestellt ). Es gibt Argumente von klugen Leuten, die behaupten, dass eine beschleunigende Ladung abstrahlt (Parrott 1993). Es gibt andere Leute, die so schlau sind, dass sie nicht versuchen, eine Ja/Nein-Antwort zu geben (Morette-DeWitt 1964, Gralla 2009, Grøn 2008). Menschen haben ganze Bücher zu diesem Thema geschrieben (Lyle 2008).

Ein ziemlich elementares Argument für den Feynman-Standpunkt lautet wie folgt. Stellen Sie sich einen starren Ladungsfleck vor, der (möglicherweise nicht sinusförmig) am Ende einer Welle schwingt. Wenn die Oszillationen nicht zu heftig sind, dann ist in der charakteristischen Zeit, die Licht benötigt, um den Blob zu durchqueren, die gesamte Bewegung langsam im Vergleich zu c, und wir können die verzögerten Potentiale durch Verwendung von Taylor-Reihen (Landau 1962 oder Poisson 1999) approximieren. Dieses Verfahren führt uns zur Berechnung einer Kraft und damit der niedrigeren Ableitungen (x'') aus den höheren Ableitungen (x'''); aber das ist das Gegenteil davon, wie die Naturgesetze normalerweise in der Physik funktionieren. Sogar Terme in der Taylor-Reihe sind für retardierte und fortgeschrittene Felder gleich, sodass sie nicht zur Strahlung beitragen und ignoriert werden können. Seltsamerweise kann x' offensichtlich nichts beitragen, weil dies die Lorentz-Invarianz verletzen würde; daher ist der erste ungerade Term, der beitragen kann, x'''. Basierend auf Einheiten muss die Kraft eine einheitslose Konstante mal sein$kq^2x'''/c^3$; die einheitslose Konstante ergibt sich zu 2/3; dies ist die Lorentz-Dirac-Gleichung,$F=(2/3)kq^2x'''/c^3$. Die abgestrahlte Leistung ist dann von der Form$x'x'''$. Das ist schön, weil es für konstante Beschleunigung verschwindet, was mit dem Äquivalenzprinzip vereinbar ist. Es ist nicht so schön, weil Sie böses Verhalten wie exponentielle außer Kontrolle geratene Lösungen für freie Teilchen und eine Kausalitätsverletzung bekommen, bei der Teilchen zu beschleunigen beginnen, bevor eine Kraft ausgeübt wird.

Durch partielle Integration können Sie die abgestrahlte Energie als Integral von ausdrücken$x''x''$, plus einem Term, der über einen vollen Zyklus periodischer Bewegung verschwindet. Dies ergibt die Larmor-Formel$P=(2/3)kq^2a^2/c^3$, was vordergründig das Äquivalenzprinzip zu verletzen scheint.

Beachten Sie, dass ab dem Ausdruck$x'x'''$für die abgestrahlte Leistung kann man Teile integrieren und bekommen$x''x''$plus Oberflächenterme. Andererseits, wenn Sie das glauben$x''x''$ist grundlegender, Sie können Teile integrieren und erhalten$x'x'''$plus Oberflächenterme. Dies löst das Problem also nicht. Die Oberflächenterme verschwinden nur bei periodischer Bewegung.

In einem Kommentar stellt Michael Brown die natürliche Frage, ob das Problem durch Experimente gelöst werden kann. Ich weiß nicht, ob Experimente das Problem lösen können, da das Problem wirklich definitorisch ist: Was macht Strahlung aus, und wie beschreiben wir die Beobachterabhängigkeit dessen, was Strahlung ausmacht? Insbesondere wenn die Beobachter A und B relativ zueinander beschleunigt werden, ist es nicht offensichtlich, dass das, was A Strahlungsfeld nennt, auch ein Strahlungsfeld im Sinne von B sein wird. Wir wissen, dass Bremsstrahlung existiert und dass dies der Prozess ist, der für die x- Strahlen, die ein Bild meines gebrochenen Arms erzeugen. Es scheint nicht viel Streit darüber zu geben, ob die von der Röntgenröhre erzeugte Leistung nach berechnet werden kann$x''x''$. Was ist mit dem Rahmen des abbremsenden Elektrons, in dem$x''=0$? Es stellt sich dann die Frage, ob dieser Rahmen weit genug ausgedehnt werden kann, um den bildgebenden fotografischen Film oder CCD-Chip zu umfassen.

Noch schwieriger wird es, wenn es um Erdbeschleunigungen geht. Für einen Relativisten hat eine auf einer Tischplatte sitzende Ladung eine Eigenbeschleunigung von 9,8 m/s2. Strahlt diese Ladung? Wie wäre es mit einer Ladung, die die Erde umkreist (Chiao 2006) oder in der Nähe der Erdoberfläche frei fällt? Lyle 2008 hat diese klare Zusammenfassung (ich muss Amazons Look Inside!-Funktion lieben):

In erster Näherung bleibt GR + SEP nahe genug an der Ladung, damit Krümmungseffekte vernachlässigbar sind, in dem Sinne, dass die metrischen Komponenten ungefähr konstant bleiben, dass es für eine Ladung nach einer Geodäte keine elektrogravitische Bremsstrahlung geben sollte, obwohl dies der Fall ist wird, wenn die Ladung aufgrund ihrer Abweichung von der Geodätischen Kurven folgt [die die Bewegungsgleichungen erfüllen].

Leider zeigen Berechnungen, dass die elektromagnetische Strahlung von einer frei fallenden Ladung stammt, wenn sie wie von Larmor vorgeschlagen vorhanden ist$x''x''$Formel, wäre viele, viele Größenordnungen zu klein, um sie zu messen.

Chiao, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0601193v7

Gralla, http://arxiv.org/abs/0905.2391

Grøn, http://arxiv.org/abs/0806.0464

Harpaz, http://arxiv.org/abs/physics/9910019

Landau und Lifshitz, Die klassische Feldtheorie

Lyle, „Uniformly Accelerating Charged Particles: A Threat to the Equivalence Principle“, http://www.amazon.com/Uniformly-Accelerating-Charged-Particles-Equivalence/dp/3540684697/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1373683154&sr= 8-1&keywords=Gleichmäßig+beschleunigend+aufgeladene+Partikel%3A+A+Bedrohung+für+das+Äquivalenzprinzip

C. Morette-DeWitt und BS DeWitt, "Falling Charges", Physics, 1,3-20 (1964); Exemplar verfügbar unter https://journals.aps.org/ppf/abstract/10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.3

Parrott, http://arxiv.org/abs/gr-qc/9303025

Poisson, http://arxiv.org/abs/gr-qc/9912045

Die Abraham-Lorentz-Gleichung gilt nicht für eine konstant beschleunigende Ladung.

Aus den Lienard-Wiechert-Feldern erzeugt eine ständig beschleunigende Ladung ein Feld, das als inverse Entfernung abfällt, die eigentliche Definition von Strahlung.

Wo ist die Trennung? In der Wikipedia-Ableitung der AL-Kraft (und ebenso in Jackson, Abschnitt 17.2) gibt es einen Schritt, der eine periodische Bewegung annimmt, um einen Grenzterm verschwinden zu lassen und so das von Ihnen zitierte Ergebnis zu erhalten. Die fragliche Formel (abgeleitet von der Larmor-Potenzformel) für die Reaktionskraft lautet:

Offensichtlich erfüllt eine konstant beschleunigende Ladung die Annahme einer periodischen Bewegung nicht, sodass der Grenzterm nicht verschwindet und die zitierte AL-Formel in diesem Fall nicht gilt.

Ich bin mir dieser Antwort nicht ganz sicher, Kommentare sind willkommen

Die Abraham-Lorentz-Gleichung ist keine „Ursache-Wirkungs-Gleichung“. Es heißt nicht, dass "eine Beschleunigung von$\dot a$wird eine Kraft hervorrufen$F_{rad}$". Vielmehr heißt es: "Wenn ein geladenes Teilchen einen Ruck hat$\dot a$, wird es mit einer Rückstoßkraft von koexistieren$F_{rad}$".

Andererseits berechnet die Larmor-Formel ¹ die Strahlungsleistung bei gegebener Beschleunigung.

Beachten Sie, dass diese beiden Formeln nicht widersprüchlich sind. Man kennt zwar die Leistung, aber nicht die Verteilung der emittierten Photonen. Das bedeutet, dass die genaue erfahrene Rückstoßkraft unbekannt ist, es sei denn, Sie lösen sie nach den ersten Prinzipien. Hier kommt die Abraham-Lorentz-Kraft ins Spiel.

^{1. Was nur für ein oszillierendes System gelten kann oder nicht. Feynman behauptet, es sei ein Sonderfall einer allgemeineren Potenzreihe, aber ich muss seine Worte entziffern.}

Geladene Teilchen werden von EM-Strahlung begleitet (hat ein Feld, das mit der Entfernung abfällt als$1/r$) wenn es sich mit Beschleunigung bewegt. Es kann gezeigt werden, dass dies eine Folge der Maxwell-Gleichungen ist, ein gut verifizierter und zuverlässiger Teil der Physik. Dabei spielt es keine Rolle, ob das geladene Teilchen ein Punkt oder ein ausgedehnter Körper ist.

Nichts davon hängt von dem Wert ab, den Larmors oder die Lorentz-Abraham-Formel für Energie oder Kraft geben.

Larmors Formel basiert auf der Energieinterpretation des integralen Poynting-Theorems. In der makroskopischen EM-Theorie gilt das Theorem für ausgedehnte geladene Körper, aber in der mikroskopischen Theorie von Punktteilchen nicht, weil der Ausdruck

ist an der Stelle, an der sich das Teilchen befindet, nicht definiert. Die Poynting-Ausdrücke können über jede Region integriert werden, die frei von geladenen Punkten ist, aber dann können sie nicht verwendet werden, um auf Energie zu schließen.

Folglich ist Larmors Formel korrekt abgeleitet und funktioniert gut für makroskopisch geladene Körper. Es ist weder korrekt abgeleitet noch funktioniert es gut für Punktpartikel.

Die Lorentz-Abraham (LA)-Kraft kann auf verschiedene Arten abgeleitet werden:

• Berechnen Sie die Kraft auf eine geladene Kugel aufgrund ihrer eigenen Teile - ergibt die LA-Kraft (dies ist auf Lorentz und Abraham zurückzuführen);

• Für einen oszillierenden geladenen Körper legt die langfristige Energiebilanz nahe, dass die LA-Kraft eingeführt werden sollte (aufgrund von Lorentz, denke ich).

Beide Methoden geben den gleichen Ausdruck für die zusätzliche Kraft (genau genommen ergibt die erste eine kompliziertere Formel, die einen Wert ergibt, der der LA-Kraft sehr nahe kommt). Beide gehen jedoch davon aus, dass der Körper an allen Punkten mit endlicher Ladungsdichte ausgedehnt ist; der erste, der Wechselwirkungen von Teilen integriert, der zweite, um die Larmor-Formel anzuwenden.

Zusammenfassung: Alle geladenen Körper strahlen, wenn sie beschleunigt werden, dies basiert auf Maxwells Gleichungen, die gut etabliert sind und sowohl für punktförmige als auch für ausgedehnte geladene Teilchen gut funktionieren. Der Larmor und der Lorentz-Abraham sind nur für ausgedehnte Körper gut etabliert. Es ist grundlos, sie auf Punktteilchen anzuwenden.

Trotz all der Tinte, die über dieses Problem verschüttet wurde, denke ich, dass die Antwort ziemlich einfach ist:

• Eine gleichmäßig beschleunigte Ladung in flacher Raumzeit strahlt kontinuierlich (die Larmor-Formel ist richtig).
• Auf eine gleichmäßig beschleunigte Ladung gibt es keine Rückwirkung (die Abraham-Lorentz-Formel ist richtig).
• Es gibt keinen Widerspruch, weil die Kosten für die Strahlung zu Beginn und am Ende der Beschleunigung bezahlt werden.

Es scheint unmöglich, dass kurze Reaktionskräfte am Anfang und am Ende für eine beliebige Menge an rückwirkungsfreier Strahlung dazwischen bezahlen können, aber sie tun es, wie unten gezeigt.

Konsistenz der Abraham-Lorentz- und Larmor-Formeln

Die offensichtlich kovariante Version der Abraham-Lorentz-Kraft, Lorentz-Dirac-Kraft genannt, ist (in$c=4π\epsilon_0=1$Einheiten und die$+{-}{-}-$metrische Konvention):

wo$\mathbf p = m \mathbf v$und die Punkte sind Eigenzeitableitungen.

Bewegt sich das Objekt vorher träge$τ_i$und danach$τ_f$, und beschleunigt dazwischen gleichmäßig, dann bei$τ_i$und$τ_f$es gibt einen Reaktionsimpuls von gegeben

wobei die Annäherung gut ist, wenn die Periode des Rucks ungleich Null kurz ist (und genau, wenn sie augenblicklich ist).

Die Impulse am Anfang und am Ende sind also proportional zur Beschleunigung. Der entscheidende Punkt ist, dass sie proportional zur Beschleunigung von vier sind, die während der gleichmäßigen Beschleunigung nicht konstant ist: ihr Wert ist$\dot{\mathbf v} = g(\mathrm{\hat z}\cosh gτ + \mathrm{\hat t}\sinh gτ)$zur Beschleunigung im$\mathrm{tz}$Ebene mit der Skalarrate$g$. Die Summe aus Anfangs- und Endimpuls, die den gesamten „Kosten“ der Beschleunigung darstellt, hängt also von der verstrichenen Zeit ab. Tatsächlich ist die Länge der Summe in der verstrichenen Eigenzeit exponentiell, aber das sollte nicht überraschen, da die Koordinatenentfernung und die zurückgelegte Zeit auch in der Eigenzeit exponentiell sind.

Da$\mathbf x = g^{-1}(\mathrm{\hat z}\cosh gτ + \mathrm{\hat t}\sinh gτ) = \dot{\mathbf v}/g^2$(für einen entsprechend gewählten Ursprung) können Sie die Kosten tatsächlich in Bezug auf die zurückgelegte Raumzeitentfernung ausdrücken:

Das$\mathrm{\hat t}$Bestandteil dessen in jedem Inertialsystem ist

Übereinstimmung mit dem Äquivalenzprinzip

Eine stationäre Ladung in einem statischen Gravitationsfeld (z. B. auf der Erdoberfläche ruhend) kann nicht strahlen: Wenn dies der Fall wäre, wäre sie eine Quelle unbegrenzter freier Energie. Das Äquivalenzprinzip impliziert, dass dieser Aufbau lokal nicht von einer gleichmäßig beschleunigenden Ladung im Minkowski-Raum unterscheidbar ist. Ich habe oben gesagt, dass die Ladung im Minkowski-Raum strahlt. Gibt es hier eine Ungereimtheit? Ich glaube nicht.

Die Ableitung der obigen Larmor-Macht war nicht lokal. Es hing von einem globalen Trägheitsrahmen ab, der in diesem Fall nicht existiert. Auch nicht die Summe$Δ\mathbf p_i + Δ\mathbf p_f$noch die Entfernung$\mathbf x_f - \mathbf x_i$im statischen Gravitationsfeld sinnvoll ist.

Das Äquivalenzprinzip impliziert, dass Detektoren, wenn sie frei an der stationären Ladung vorbeifallen und nahe genug sind, dass die Raumzeit ungefähr flach ist, die Strahlung von der Ladung mit der durch die Larmor-Formel angegebenen Rate erfassen sollten. Das ist kein Widerspruch, weil es sich nicht um eine statische Konfiguration handelt. Wenn die Absorption der Strahlung dazu führt, dass die Bahnen der Detektoren schnell genug zerfallen, werden sie nicht mehr Energie ernten, als in ihre Bahnen eingebracht wurde. Es ist eine Sache, das zu sagen, und eine andere, es zu beweisen – aber bis jemand zeigt, dass man auf diese Weise ein Perpetuum mobile bauen kann, gehe ich davon aus, dass man das nicht kann.

Was ist, wenn Sie es sich nicht leisten können, aufzuhören?

Parrott wendet ein, dass es keinen Sinn mache, die Hälfte der Kosten in unbestimmt verschiebbarer Zukunft zu bezahlen. Er fragt, was passiert, wenn man genug Masse (Raketentreibstoff) abwirft, dass der abschließende Lorentz-Dirac-Impuls unphysikalisch ist, weil er zu einem raumähnlichen Viererimpuls führen würde. Muss man ewig Gas geben?

Wenn der Ruck kurz ist, dann steht der Vierer-Impuls senkrecht zur Vierer-Geschwindigkeit, also bleibt der Vierer-Impuls ein zeitartiges Wenn$\frac23 q^2 g < m$. Das Verteilen des Rucks über die Zeit scheint das Problem zu verschlimmern.

Ich denke, Sie werden hier durch die Tatsache gerettet, dass Sie keine Ladung ohne Masse haben können. Die Eigenenergie einer gleichmäßig geladenen Kugel mit Radius$r$ist$\frac35 q^2/r$. Wenn Sie das in die Ungleichung stecken, hebt sich die Ladung auf und Sie erhalten$g r < \frac9{10}$. Auch im ungeladenen Zustand muss der Ball überzeugen$gr<1$(wo$g$ist die Beschleunigung in seinem Zentrum), sonst fällt es durch den Rindler-Horizont. Der genaue Wert$\frac9{10}$ist bedeutungslos – der Faktor$\frac35$hängt von der Ladungsverteilung und der ab$\frac23$setzt keine signifikante Variation der Beschleunigung über das Objekt voraus – wohl aber die Tatsache, dass das Stoppkriterium gleicht$gr<1$überhaupt suggeriert mir, dass dies die richtige Auflösung ist.

Kommentar zur Strahlungsemission von gleichmäßig beschleunigten geladenen Teilchen Bezieht sich auf die häufig gestellte Frage, ob es eine Strahlungsemission von gleichmäßig beschleunigten geladenen Teilchen gibt. Wenn eine Emission vorhanden ist, wie kann man sie rationalisieren, indem man sich auf die Impuls- und Energiebilanzgleichungen bezieht, die jeweils das stetige Wachstum des Impulses und der kinetischen Energie der Ladung ausdrücken, die durch das Anlegen eines konstanten elektrischen Feldes beschleunigt wird? Es ist wichtig zu beachten, dass die dynamischen Eigenschaften, auf die in den Impuls- und Energiebilanzgleichungen Bezug genommen wird, kanonisch gemittelte Werte der jeweiligen Eigenschaften sind. Unter zunehmender Beschleunigung des geladenen Teilchens im äußeren Feld weicht die kohärente Wechselwirkung von Feld und Teilchen zunehmend von der nichtlokalen Regelmäßigkeit des virtuellen Strahlungsaustauschs ab. Die Entwicklung wird mit unaufhörlicher Strahlungsemission und -absorption äußerst instationär, und beim Einsetzen der Dekohärenz erreicht die angezeigte Energiefluktuation einen kritischen Wert. Die Dynamik zu Beginn wird am besten durch kanonisch gemittelte Eigenschaften dargestellt. Unter der instationären Entwicklung drückt die Energiebilanz die allgemeine Wachstumsrate der kinetischen Energie aus, wozu die ruckbezogene Leistung im Nachlauf von Strahlungsemission und -absorption beiträgt. Die Leistung, die sich aus dem Ruck manifestiert, setzt sich aus den beiden komplementären Raten zusammen, die jeweils auf den Strahlungsverlust und die kinetische Verzögerung des Strahlungsrückstoßes über den charakteristischen Zeitraum von 2q2/3m¬¬0c3 zurückzuführen sind. Die ruckbezogene Leistung wird dabei kanonisch gemittelt über die charakteristische Zeit ausgedrückt. Für die gleichmäßig beschleunigende Ladung ist diese mittlere Leistung, die den Gesamteffekt aus der Energie-Impuls-Schwankung darstellt, charakteristischerweise Null, mit dem Ergebnis, dass die kinetische Energie der Ladung unter dem konstanten äußeren Feld stetig wächst. Obwohl der Rückstoßimpuls nicht in die Impulsbilanz des gleichmäßig beschleunigten Falls einfließt, verleiht das Feld der emittierenden Strahlung dem dynamischen Verlauf der beschleunigten Ladung eine Oskulationswirkung. Die Schmiegung wird als kanonisch gemittelte Torsion der Quantentrajektorien registriert, die den dynamischen Verlauf im Path-Integral-Ansatz nach Feynman darstellen. In Anbetracht dessen, dass die Strahlungsbewegung mit dem Maß des minimalen Eigenenergieverlusts der Ladung ausgeführt wird, Es ist möglich zu beweisen, dass die oberste Grenze der Torsionsstörung jenseits derer die immer vorhandene nichtlokale Abwehr kritisch versagt. Die kritische Torsion ist ausdrückbar als , die Phasengeschwindigkeit der Materiewellen und ein lichtähnlicher Einheitsvektor. Der Ausdruck zeigt, dass die Phasengeschwindigkeit der Materiewellen ( ) auf ihren Grenzwert der Signalgeschwindigkeit gedrückt wird, damit der nichtlokale Stress seine obere Verteidigungsgrenze erreicht, bevor er nachgibt. Die gleichmäßig beschleunigte Strahlungsemission wird somit durch den oben beschriebenen Rückstoß-Torsionseffekt impliziert. Wie im Inertialsystem angemerkt, wird ein Beobachter im Nichtinertialsystem auch berücksichtigen, dass die Strahlungsemission das Versagen der kohärenten Wechselwirkung im Feldteilchensystem anzeigt, und er wird daraus schließen, dass eine gleichmäßig beschleunigende Ladung strahlt. Ein Beobachter auf der Erdoberfläche wird eine frei fallende Ladung von einer anderen Ladung unterscheiden, die bei ihm ruht. Für ihn befindet sich die frei fallende Ladung im Gegensatz zu der anderen in einem instationären Zustand, was zu einem stetigen Wachstum ihrer durchschnittlichen kinetischen Energie und einem konstanten Strahlungsverlust führt. Bei der erwähnten Unterscheidung der Energiezustände der beiden geladenen Teilchen ist es unangemessen, ihre identische Energie mit dem Äquivalenzprinzip zu begründen. Die Quantenzustände der Feld-Teilchen-Evolution müssen nicht durch Anwendung des Prinzips neu definiert werden. Bei der erwähnten Unterscheidung der Energiezustände der beiden geladenen Teilchen ist es unangemessen, ihre identische Energie mit dem Äquivalenzprinzip zu begründen. Die Quantenzustände der Feld-Teilchen-Evolution müssen nicht durch Anwendung des Prinzips neu definiert werden. Bei der erwähnten Unterscheidung der Energiezustände der beiden geladenen Teilchen ist es unangemessen, ihre identische Energie mit dem Äquivalenzprinzip zu begründen. Die Quantenzustände der Feld-Teilchen-Evolution müssen nicht durch Anwendung des Prinzips neu definiert werden.

Die Frage scheint zu sein: Gilt die Larmor-Formel nur für oszillierende Ladungen?

Die Larmor-Formel sagt die Macht$P$von einem System mit Elektronenladung abgestrahlt$e$und Beschleunigung$a$ist ungefähr gegeben durch:

Lassen Sie uns untersuchen, was passiert, wenn wir versuchen, die Leistung zu maximieren$P$ausgestrahlt. Wir müssen die Beschleunigung maximieren$a$. Dies kann durch die Annahme einer Beziehung erfolgen:

Somit haben wir:

Nun die Definition der Feinstrukturkonstante$\alpha\approx1/137$wird gegeben von:

Damit haben wir ungefähr:

Somit haben wir schließlich:

Wenn wir also nach einem System suchen, das maximale Leistung abgibt, führt uns die Larmor-Formel zu einer Quantenunschärfebeziehung, die auf ein oszillierendes System hinweist. Natürlich erwarten wir nicht, dass ein solches System tatsächlich nach den Prinzipien der Quantenmechanik strahlt.

Trotzdem scheint diese Tatsache darauf hinzudeuten, dass die Formel eher für schwingende Systeme (bis zur Grenze von quantenschwingenden Systemen) als für solche mit linearer Bewegung gilt.