Gibt es eine mathematische Beziehung zwischen Zeit und Entropie? [geschlossen]

Es gibt keine Beziehung, in der Sie sowohl die Entropie finden können$S$Sie kennen sie aus der Gleichgewichtsthermodynamik (ETD) oder der statistischen Mechanik (ESM) und der Zeitvariablen$t$Sie kennen es aus der Dynamik.

Der Grund dafür ist, dass das Konzept der Entropie, wie alles andere in ETD und ESM, nur dann eine Bedeutung hat, wenn sich das System im Gleichgewicht befindet , und wenn sich das System im Gleichgewicht befindet, gibt es per Definition keine Zeitevolution.

Mit anderen Worten, Sie können in ETD und ESM die Entropie bestimmter Gleichgewichtszustände und die Entropiedifferenz zwischen Gleichgewichtszuständen berechnen, aber Sie können niemals einen Ausdruck für die Entropie schreiben, wenn sich das System zwischen diesen Gleichgewichtszuständen entwickelt , weil Wenn sich das System entwickelt, befindet es sich nicht im Gleichgewicht.

Es gibt jedoch einen Satz von Boltzmann, der der Definition einer zeitabhängigen "Entropie" sehr nahe kommt: der berühmte H-Satz .

Was Boltzmann gezeigt hat, ist das Funktionale

$$H [f] \equiv \int d \mathbf p \ f(\mathbf p, t) \log f(\mathbf p, t)$$

Wo$f(\mathbf p, t)$eine Lösung der Boltzmannschen Transportgleichung ist , mit der Zeit nur abnehmen oder stationär bleiben kann:

$$\frac{dH}{dt} \leq 0$$

und dass wir die "$=$„Unterschreibe nur wann$f=f_0$, Wo$f_0$ist die Maxwell-Boltzmann-Verteilung . Das kann man zeigen (siehe zum Beispiel K. Huang, Statistical Mechanics ).

$$H[f_0] = -\frac{S}{Vk_B}$$

Wo$k_B$ist die Boltzmann-Konstante. Der$H$Satz wäre also offenbar eine Aussage des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik im Spezialfall des festen Volumens. Es gibt jedoch einige Probleme:

1. Selbst wenn$-H[f_0]\propto S$, es ist nicht klar, ob$-H[f]$kann rigoros mit der Entropie identifiziert werden, die wir aus der Thermodynamik und der statistischen Mechanik kennen.
2. Um das H-Theorem abzuleiten, machte Boltzmann eine starke Annahme, die Annahme des molekularen Chaos , die effektiv eine Zeitasymmetrie in das System einführt, und es ist nicht klar, ob diese Annahme physikalisch gerechtfertigt ist oder nicht.