Gibt es eine Spannung in einer masselosen Feder, die zwei frei fallende Körper in verschiedenen horizontalen Ebenen verbindet?

Die Feder hat Spannung. Es verlängert sich und daher gibt es Spannung! Es ist der Schwerpunkt, der bei Beschleunigung fällt$g$eher als jede einzelne Masse. Also die Gleichung

$$mg-T=mg$$ ist ungültig. Wenn die beiden Massen fallen, werden sie oszillieren (sie kommen näher und weiter weg) und die Spannung wird zyklisch.

Nennen wir die durch Masse gefallene Entfernung$A$,$x_A$und das Gefallene von Masse B$x_B$Die Bewegungsgleichung für jede Masse ist gegeben durch:

$$m \ddot x_A=mg+T$$ $$m \ddot x_B=mg-T$$ $T$ist eine Funktion von $x_A$Und $x_B$, ( $T=k(x_B-x_A-L)$Wo $k$ist die Federkonstante, und $L$ist die natürliche Länge) und davon können wir nicht ausgehen $\ddot x_A=g$oder $\ddot x_B=g$. Diese Art von Gleichungen werden gekoppelte Differentialgleichungen genannt und können auf verschiedene Arten gelöst werden.

Die Antwort ist, dass es davon abhängt, wie sich Ihre anfängliche federbelastete Masse bewegt. Aber der faszinierende (aber nicht zu faszinierende, wenn man es so formuliert) Teil ist, dass sich die Dynamik der unteren Hälfte nicht ändern wird, bis die Kompressionswelle von oben mit unten nach außen auf dem Slinky interagiert.

Wenn wir davon ausgehen, dass es sich im Ruhezustand befindet, bewegt sich die obere Masse im Wesentlichen schnell genug, dass der Schwerpunkt beschleunigt wird$9.8 m/s^2$. Wenn es die wahre Gleichgewichtslänge der Saite ohne Schwerkraft erreicht, beginnt es, die Bodenmasse zu beschleunigen. An diesem Punkt scheint die Feder, wenn Sie vom COM-Rahmen aus blicken, zu oszillieren, wie es normalerweise der Fall ist. Denn die hier auftretenden Schwingungen nennt man Eigenfrequenz. Die andere Eigenfrequenz (da dieses Problem 2 unabhängige Variablen hat) ist die Bewegung der COM. Mit der Bewegung der COM und der Bewegung beider Massen um die COM haben Sie alle Informationen, die Sie benötigen, um die Dynamik Ihrer Massen zu rekonstruieren.

Eine großartige Demonstration davon ist der Slinky in diesem Video, der wie eine Feder mit einer Gleichgewichtslänge von Null ist:

https://www.youtube.com/watch?annotation_id=annotation_314765&feature=iv&src_vid=eCMmmEEyOO0&v=uiyMuHuCFo4

Gibt es Spannung in der Feder?

Abgesehen von den von Joseph und Skyler erwähnten Schwingungen: ja, wegen der Gezeitenkraft. In normalen Situationen ist dies so gering, dass es nicht messbar ist, aber es ist da. Siehe die Darstellung des Gravitationspotentials auf Wikipedia:

^{CC BY-SA 3.0-Bild von AllenMcC, siehe Wikipedia Commons}

Sie könnten dies ableiten, indem Sie optische Uhren in einem äquatorialen Raumabschnitt durch und um die Erde platzieren und dann die Taktraten aufzeichnen. Die Steigung des Diagramms oder die erste Potentialableitung bezieht sich auf die Schwerkraft. Wo es am steilsten ist, ist die Schwerkraft am größten. Die Krümmung des Diagramms bezieht sich auf die Gezeitenkraft. Diese zweite Ableitung des Potentials ist zwar gering, hängt aber mit dem Riemann-Krümmungstensor zusammen und soll das bestimmende Merkmal eines Gravitationsfelds sein, da Ihr Plot ohne ihn nicht von der Ebene abweichen und in der Mitte eben sein kann. Wenn Ihr Grundstück ganz flach und horizontal wäre, hätten Sie es nicht getanein Gravitationsfeld. Die Gezeitenkraft ist zwar gering, aber vorhanden. Sie würden es nicht bemerken, wenn Ihre Massen und Federn in einen Raum fallen, aber Sie würden es tun, wenn sie in ein stellares Schwarzes Loch fallen würden. Eine Spaghettifizierung würde auftreten:

„In der Astrophysik ist Spaghettifizierung (manchmal auch als Nudeleffekt bezeichnet) das vertikale Strecken und horizontale Zusammendrücken von Objekten zu langen, dünnen Formen (eher wie Spaghetti) in einem sehr starken, inhomogenen Gravitationsfeld; sie wird durch extreme Gezeitenkräfte verursacht. In den extremsten Fällen, in der Nähe von Schwarzen Löchern, ist die Dehnung so stark, dass kein Objekt ihr standhalten kann, egal wie stark seine Komponenten sind."