Gibt es einen natürlichen Weg, um relative Wellenfunktionen zu definieren?

Question

Gibt es einen natürlichen Weg, um relative Wellenfunktionen zu definieren?

Sidharth Ghoschal

Angenommen, ich habe zwei freie Teilchen $A,B$ deren Positionen sich gemäß Wellenfunktionen entwickeln $\psi_A(x,t)$ Und $\psi_B(x,t)$ . Ich interessiere mich für das Gespräch über den Positionsvektor von $A, B$ , und idealerweise möchte ich es nach einer Wellenfunktion beschreiben, nennen wir es $\psi_{B,A}(x,t)$ .

Bei dem Versuch, diese Wellenfunktion zu finden, habe ich Folgendes getan:

Ich merke das $|\psi_{B,A}(x,t)|^2$ beschreibt genau die Wahrscheinlichkeit des Positionsvektors aus $A$ Zu $B$ .
Ich merke das
$| ψ_{B, A} (X, T) |^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} | ψ_{B} (X - u, T) |^{2} | ψ_{A} (u, T) |^{2} \partial u$ $|\psi_{B,A}(x,t)|^2 = \int_{-\infty}^{\infty} |\psi_B(x-u, t)|^2 |\psi_A(u, t) |^2 \partial u$ aus einem heuristischen Argument für einen bestimmten Positionsvektor $x$ die Wahrscheinlichkeitsdichte dieses Positionsvektors sollte gleich einer gewichteten Summe aller Dichten aller Vektorpaare sein $u_1, u_2$ verteilt nach B bzw. A, deren Differenz ist $x$ .

Aber jetzt möchte ich einen Ausdruck für bekommen $\psi_{B,A}(x,t)$ nicht das Quadrat seines absoluten Werts, und hier wird es schwierig. Ich habe versucht, mir die Gleichung (2) anzusehen und die absoluten Werte in Werte- und Konjugationspaare zu zerlegen. Dann hoffte ich, die Ausdrücke nach der Zeit zu differenzieren und die Schrödinger-Gleichung zu verwenden. Aber es scheint mir unmöglich, dass ich jemals eine lineare PDE daraus generieren kann, geschweige denn, dass ich eine lineare PDE generieren werde, die nur eine Funktion von ist $x,t, \psi_{A,B}$ .

Eine Idee:

Ich spiele immer noch damit, aber man könnte eine Gleichung aufstellen, die besagt, dass das relative Momentum aus $A$ Zu $B$ verteilt sich gem $\phi_{B,A}$ die wir als die Fourier-Transformation von definieren $\psi_{B,A}$ und darüber hinaus

| ϕ_{B, A} (P, T) |^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} | ϕ_{B} (P - S, T) |^{2} | ϕ_{A} (S, T) |^{2} \partial S

$|\phi_{B,A} (p,t)|^2 = \int_{-\infty}^{\infty} |\phi_{B} (p -s, t)|^2 |\phi_A(s, t)|^2 \partial s$ und schau was das bringt.

zzz

Ich habe gerade auch eine heuristische Argumentation in meinem Kopf durchgeführt und scheint mir, dass die Gleichung, die Sie unter '2' haben, nur die gewünschte relative Wellenfunktion sein sollte (nicht quadratisch). Tatsächlich kann es nicht das Sauare sein, da es nicht einmal garantiert ist, dass es echt ist.

Sidharth Ghoschal

Entschuldigung, ich habe einen Tippfehler; Die Frage spiegelt jetzt die Änderungen wider

Sidharth Ghoschal

Hmm ... Ich kann ein Bild anhängen, ich sehe den Integranden, den Sie quadriert haben. Versuchen Sie vielleicht, die Seite zu aktualisieren, wenn sie sich nicht ändert, hinterlassen Sie einen Kommentar. Ich habe meine aufgefrischt und sehe das anders. Ich habe das Format auch gerade geändert.

Gerry Harfe

Dein Integral in 2. definiert keinen Abstand. Es hat überhaupt keine Einheiten! Um zum Beispiel den Massenschwerpunkt einer Wellenfunktion ϕ(r) CM = ∫∞−∞ϕ(r) r ϕ*(r)dr zu berechnen, glaube ich, dass Sie etwas Ähnliches wollen, außer dem Abstand der Trennung (rA-rB). zwischen den beiden Wellenfunktionen A und B liegen.

Sidharth Ghoschal

Ich konnte Ihren Kommentar nicht vollständig interpretieren, also sage ich einfach, was ich habe, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Trennung zwischen zwei Partikeln. Was ich will, ist eine Art Wellenfunktion, die dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrunde liegt. Als ich Ihren Kommentar las, schien die Einheitsangabe sinnvoll zu sein (und ich bin mir noch nicht sicher, wie ich sie ansprechen soll). Der Rest spricht über den erwarteten Wert des Massenschwerpunkts und locker: den erwarteten Wert der Trennung, nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Trennung.

Antworten (1)

Gibt es einen natürlichen Weg, um relative Wellenfunktionen zu definieren?

Ich habe gerade auch eine heuristische Argumentation in meinem Kopf durchgeführt und scheint mir, dass die Gleichung, die Sie unter '2' haben, nur die gewünschte relative Wellenfunktion sein sollte (nicht quadratisch). Tatsächlich kann es nicht das Sauare sein, da es nicht einmal garantiert ist, dass es echt ist.
Entschuldigung, ich habe einen Tippfehler; Die Frage spiegelt jetzt die Änderungen wider
Hmm ... Ich kann ein Bild anhängen, ich sehe den Integranden, den Sie quadriert haben. Versuchen Sie vielleicht, die Seite zu aktualisieren, wenn sie sich nicht ändert, hinterlassen Sie einen Kommentar. Ich habe meine aufgefrischt und sehe das anders. Ich habe das Format auch gerade geändert.
Dein Integral in 2. definiert keinen Abstand. Es hat überhaupt keine Einheiten! Um zum Beispiel den Massenschwerpunkt einer Wellenfunktion ϕ(r) CM = ∫∞−∞ϕ(r) r ϕ*(r)dr zu berechnen, glaube ich, dass Sie etwas Ähnliches wollen, außer dem Abstand der Trennung (rA-rB). zwischen den beiden Wellenfunktionen A und B liegen.
Ich konnte Ihren Kommentar nicht vollständig interpretieren, also sage ich einfach, was ich habe, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Trennung zwischen zwei Partikeln. Was ich will, ist eine Art Wellenfunktion, die dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrunde liegt. Als ich Ihren Kommentar las, schien die Einheitsangabe sinnvoll zu sein (und ich bin mir noch nicht sicher, wie ich sie ansprechen soll). Der Rest spricht über den erwarteten Wert des Massenschwerpunkts und locker: den erwarteten Wert der Trennung, nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Trennung.

Giorgio Comitini · Answer 1

Warum nicht einfach deine Variablen neu definieren? Wenn $\vec{x}_{A}$ ist die Position des Teilchens $A$ Und $\vec{x}_{B}$ die von Teilchen $B$ , Dann

{\vec{X}}_{A} = \vec{X} + \frac{M_{B}}{M} \vec{X} Und {\vec{X}}_{B} = \vec{X} - \frac{M_{A}}{M} \vec{X}

$\vec{x}_{A}=\vec{X}+\frac{m_{B}}{M}\vec{x} \qquad \text{and}\qquad\vec{x}_{B}=\vec{X}-\frac{m_{A}}{M}\vec{x}$ Wo

m_{A}

$m_{A}$ Und

m_{B}

$m_{B}$ sind die Massen der Teilchen,

M = m_{A} + m_{B}

$M=m_{A}+m_{B}$ ist die Gesamtmasse des Systems,

\vec{x} = {\vec{x}}_{A} - {\vec{x}}_{B}

$\vec{x}=\vec{x}_{A}-\vec{x}_{B}$ ist der Trennungsvektor und

\vec{X} = \frac{M_{A} {\vec{X}}_{A} + M_{B} {\vec{X}}_{B}}{M}

$\vec{X}=\frac{m_{A}\vec{x}_{A}+m_{B}\vec{x}_{B}}{M}$

ist die Position des Massenmittelpunkts.

Wenn $\psi_{A}(\vec{x}_{A})$ beschreibt Teilchen $A$ Und $\psi_{B}(\vec{x}_{B})$ beschreibt Teilchen $B$ , wird das Verbundsystem beschrieben durch:

ψ ({\vec{X}}_{A}, {\vec{X}}_{B}) = ψ_{A} ({\vec{X}}_{A}) ψ_{B} ({\vec{X}}_{B}) (unterscheidbare Partikel) ψ ({\vec{X}}_{A}, {\vec{X}}_{B}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (ψ_{A} ({\vec{X}}_{A}) ψ_{B} ({\vec{X}}_{B}) + ψ_{A} ({\vec{X}}_{B}) ψ_{B} ({\vec{X}}_{A})) (ununterscheidbares Teilchen, Bosonen) ψ ({\vec{X}}_{A}, {\vec{X}}_{B}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (ψ_{A} ({\vec{X}}_{A}) ψ_{B} ({\vec{X}}_{B}) - ψ_{A} ({\vec{X}}_{B}) ψ_{B} ({\vec{X}}_{A})) (ununterscheidbare Teilchen, Fermionen)

$\psi(\vec{x}_{A},\vec{x}_{B})=\psi_{A}(\vec{x}_{A})\,\psi_{B}(\vec{x}_{B})\quad\text{(distinguishable particles)}\\ \psi(\vec{x}_{A},\vec{x}_{B})=\frac{1}{\sqrt{2}}\ (\psi_{A}(\vec{x}_{A})\,\psi_{B}(\vec{x}_{B})+\psi_{A}(\vec{x}_{B})\,\psi_{B}(\vec{x}_{A}))\quad\text{(indistinguishable particle, bosons)}\\ \psi(\vec{x}_{A},\vec{x}_{B})=\frac{1}{\sqrt{2}}\ (\psi_{A}(\vec{x}_{A})\,\psi_{B}(\vec{x}_{B})-\psi_{A}(\vec{x}_{B})\,\psi_{B}(\vec{x}_{A}))\quad\text{(indistinguishable particle, fermions)}$

(Man sollte auch die Spin-Bezeichnungen für die nicht unterscheidbaren Fälle austauschen). Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Teilchen unterscheidbar sind. Dann kann man eine Wellenfunktion in Abhängigkeit von Schwerpunktlage und Abstandsvektor als definieren

ψ (\vec{X}, \vec{X}) = ψ_{A} (\vec{X} + \frac{M_{B}}{M} \vec{X}) ψ_{B} (\vec{X} - \frac{M_{A}}{M} \vec{X})

$\psi(\vec{X},\vec{x})=\psi_{A}\big(\vec{X}+\frac{m_{B}}{M}\vec{x}\big)\,\psi_{B}\big(\vec{X}-\frac{m_{A}}{M}\vec{x}\big)$

und das beantwortet deine frage. Beachten Sie, dass die Wellenfunktion im Allgemeinen nicht in a zerlegt werden kann $\vec{X}$ -abhängig und a $\vec{x}$ -abhängiger Teil: Dies hängt von der spezifischen Form ab $\psi_{A}$ Und $\psi_{B}$ . Sie haben jedoch immer noch eine genau definierte Wahrscheinlichkeit für die Variable $\vec{x}$ :

ρ (\vec{X}) = \int D^{3} X | ψ (\vec{X}, \vec{X}) |^{2} = \int D^{3} X | ψ_{A} (\vec{X} + \frac{M_{B}}{M} \vec{X}) ψ_{B} (\vec{X} - \frac{M_{A}}{M} \vec{X}) |^{2}

$\rho(\vec{x})=\int d^{3}X\ |\psi(\vec{X},\vec{x})|^{2}=\int d^{3}X\ \bigg|\psi_{A}\big(\vec{X}+\frac{m_{B}}{M}\vec{x}\big)\,\psi_{B}\big(\vec{X}-\frac{m_{A}}{M}\vec{x}\big)\bigg|^{2}$

Beachten Sie, dass diese Definition - zumindest für den vorliegenden Fall - zum gleichen Ergebnis führt wie Ihre eigene: define $\vec{U}=\vec{X}+\frac{m_{B}}{M}\vec{x}$ und ändern Variablen der Integration aus $\vec{X}$ Zu $\vec{U}$ : du erhältst

ρ (\vec{X}) = \int D^{3} U | ψ_{A} (\vec{U}) ψ_{B} (\vec{U} - \frac{M_{B}}{M} \vec{X} - \frac{M_{A}}{M} \vec{X}) |^{2} = \int D^{3} U | ψ_{A} (\vec{U}) ψ_{B} (\vec{U} - \vec{X}) |^{2}

$\rho(\vec{x})=\int d^{3}U\ \bigg|\psi_{A}\big(\vec{U}\big)\,\psi_{B}\big(\vec{U}-\frac{m_{B}}{M}\vec{x}-\frac{m_{A}}{M}\vec{x}\big)\bigg|^{2}=\int d^{3}U\ \bigg|\psi_{A}\big(\vec{U}\big)\,\psi_{B}\big(\vec{U}-\vec{x}\big)\bigg|^{2}$

wobei ich im zweiten Schritt nur vereinfacht habe $(m_{A}+m_{B})/M=1$ . Das Ergebnis gilt jedoch nur, wenn die Teilchen unterscheidbar sind: Wenn nicht, dann $\psi(\vec{X},\vec{x})$ nimmt einen der Ausdrücke an, die ich oben für den bosonischen oder fermionischen Fall geschrieben habe, und meine Definition wird zu einem anderen Ergebnis führen. Das, was ich geschrieben habe, ist das richtige, weil es eher auf soliden Prinzipien (zusammengesetzte Wellenfunktionen für nicht/unterscheidbare Teilchen) als auf einer Heuristik basiert.

Andererseits kann gezeigt werden, dass wenn das Potential auf das System einwirkt $A+B$ ist die Summe von a $\vec{X}$ -abhängiges Potential und a $\vec{x}$ -abhängiges Potential, dann faktorisieren sich die Eigenfunktionen des Hamiltonoperators tatsächlich immer in a $\vec{X}$ -abhängig und a $\vec{x}$ -abhängiger Teil: In diesem Fall können Sie die Eigenfunktionen immer schreiben als

ψ (\vec{X}, \vec{X}) = ψ_{C . Ö . M .} (\vec{X}) ψ_{S e P .} (\vec{X})

$\psi(\vec{X},\vec{x})=\psi_{c.o.m.}(\vec{X})\ \psi_{sep.}(\vec{x})$

wo jeder der $\psi$ 's auf der rechten Seite löst die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung separat mit dem entsprechenden Potential. In diesem Fall, $\psi_{sep.}(\vec{x})$ ist die gesuchte Wellenfunktion (und kann im nicht unterscheidbaren Fall spezifische Simmetrieeigenschaften haben). Zum Beispiel, wenn auf die Partikel eine Kraft einwirkt, die nur vom Abstand zwischen den Partikeln abhängt $\vec{x}$ , das wirst du finden

ψ_{C . Ö . M .} (\vec{X}) = e^{ich \vec{P} \cdot \vec{X} / ℏ}

$\psi_{c.o.m.}(\vec{X})=e^{i\vec{P}\cdot \vec{X}/\hbar}$

Wo $\vec{P}$ ist dabei der Massenschwerpunktsimpuls des Systems $\psi_{sep.}(\vec{x})$ erfüllt die Schrödinger-Gleichung

[- \frac{ℏ^{2}}{2 μ} \nabla^{2} + v (\vec{X})] ψ_{S e P .} (\vec{X}) = E_{ich N T} ψ_{S e P .} (\vec{X})

$\bigg[-\frac{\hbar^{2}}{2\mu}\ \nabla^{2}+V(\vec{x})\bigg]\psi_{sep.}(\vec{x})=E_{int}\ \psi_{sep.}(\vec{x})$

mit $\mu=m_{A}m_{B}/M$ die reduzierte Masse des Systems.

Ist meine Herleitung falsch? Denn wenn ich Ihren Kommentar lese, finde ich es seltsam, dass ich immer einen gut definierten Ausdruck von haben kann $|\psi_{sep}|^2$ trotz Ihrer Antwort, die behauptet, sie seien nicht einmal die ganze Zeit trennbar. Was habe ich bei meiner Arbeit falsch gemacht? Ich bin auch ziemlich weniger geschickt als Sie, also denke ich, dass Sie besser herausfinden könnten, warum ich meine Vorgehensweise nicht mit Ihrer in Einklang bringen kann, als ich es tun würde
Meine Schlussfolgerung ist die gleiche wie Ihre: Ich habe geschrieben, dass die zusammengesetzte Wellenfunktion im Allgemeinen nicht trennbar ist; Trotzdem können Sie immer eine Dichte definieren. Beachten Sie, dass meine Definition von $\rho(\vec{x})$ ist eigentlich dasselbe wie bei Ihnen (ich werde gleich einen Beweis für diese Behauptung hinzufügen, mit einer wichtigen Einschränkung). Eine solche Dichte wird jedoch nicht durch eine Trennung von Wellenfunktionen erhalten, sondern, wie gesagt, durch Integration. Sie haben nicht unbedingt "schief gelaufen", sondern Ihre Ableitung auf einer Heuristik und nicht auf einer genauen Anwendung der Prinzipien der Quantenmechanik basiert.
Erledigt. Ich habe den Beweis hinzugefügt und am Ende einige Bemerkungen hinzugefügt. Letztlich kommt es aber darauf an $\rho(\vec{x})$ unterscheidet sich im Allgemeinen von $|\psi_{sep.}(\vec{x})|^{2}$ wenn es eine gibt $\vec{X}$ -Abhängigkeit ohne Trennung, genauso viel wie $\rho(\vec{x}_{A})$ unterscheidet sich von $|\psi_{A}(\vec{x}_{A})|^{2}$ wenn es eine gibt $\vec{x}_{B}$ -Abhängigkeit ohne Trennung, $\psi(\vec{x}_{A},\vec{x}_{B})\neq \psi_{A}(\vec{x}_{A})\psi_{B}(\vec{x}_{B})$ .

Gibt es einen natürlichen Weg, um relative Wellenfunktionen zu definieren?

Sidharth Ghoschal

Eine Idee:

zzz

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