Wasserstoffatom, wie lautet die Wellengleichung für den Atomkern?

Im Grunde ist es die Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen, aber es ist wichtig zu beachten, dass dieses Teilchen nicht das Proton ist – es ist der Massenmittelpunkt des gesamten Atoms.

Dies wird in angemessen strengen Lehrbüchern der Quantenmechanik ausführlich behandelt (obwohl mir im Moment kein spezifisches Beispiel einfällt), und die Grundidee lautet wie folgt:

• Sie beginnen mit der Schrödinger-Gleichung für die elektronischen und Kernkoordinaten, also mit dem Hamilton-Operator $$H = \frac{1}{2M}\mathbf p_N^2 + \frac{1}{2m}\mathbf p_e^2 - \frac{Ze^2}{|\mathbf r_N-\mathbf r_e|}.$$
• Anschließend wandeln Sie Ihr System in einen neuen Koordinatensatz um: einen für die relative Bewegung und einen für den Massenmittelpunkt. $$\begin{align} \mathbf r &= \mathbf r_e-\mathbf r_N &&& \mathbf R &= \frac{1}{M+m}\left(M\mathbf r_N+m\mathbf r_e\right) \\ \mathbf p &= \frac{M}{M+m}\mathbf p_e-\frac{m}{M+m}\mathbf p_N &&& \mathbf P &= \mathbf p_N+\mathbf p_e. \end{align}$$
• Sie verifizieren, dass die neuen Koordinaten die korrekten (kanonischen) Vertauschungsbeziehungen erfüllen, dh dass$[x_j,p_k] = [X_j,P_k] = i\hbar \delta_{jk}$und$[x_j,P_k]=0 = [X_j,p_k]$.
• Sie drücken die nuklearen und elektronischen Koordinaten als Funktionen der transformierten Koordinaten aus, setzen sie in Ihren Hamiltonian ein und arbeiten an der Transformation, um sie zu erhalten $$H = \frac{1}{2(M+m)}\mathbf P^2 + \frac{1}{2\mu}\mathbf p^2 - \frac{Ze^2}{|\mathbf r|},$$ wo$\mu = \left(\frac1m+\frac1M\right)^{-1}$ist die reduzierte Masse (sich selbst sehr nahe$m$in der Grenze wo$m\ll M$).

Diese Zerlegung trennt Ihr (anfänglich gekoppeltes) dynamisches Problem vollständig in zwei getrennte und recht unterschiedliche Teilprobleme, das übliche elektronische Hamiltonsche Problem,

$$H_\mathrm{el} = \frac{1}{2\mu}\mathbf p^2 - \frac{Ze^2}{|\mathbf r|},$$ und ein Schwerpunkt-Hamilton-Operator, der nur durch den kinetischen Begriff der freien Teilchen gegeben ist, $$H_\mathrm{COM} = \frac{1}{2(M+m)}\mathbf P^2.$$ Das kann dann verwendet werden, um die explizite Wellengleichung für die "nukleare" (eigentlich Massenmittelpunkt-) Bewegung zu erhalten. Im einfachsten Fall ist dies tatsächlich nur das freie Teilchen, aber es ist leicht zu sehen, wie es modifiziert werden kann, um beispielsweise

• ein explizites Potenzial enthalten, das speziell die Kernbewegung anspricht,
• Fügen Sie das Potenzial für eine Dipolfalle hinzu, die durch Hinzufügen von an funktioniert$\mathbf R$-abhängiges externes Potential, das Off-Resonanz an die elektronische Bewegung koppelt, die dann diesen Freiheitsgrad zu einem "einfriert".$\mathbf R$-abhängiger Grundzustand mit an$\mathbf R$-abhängige Grundzustandsenergie, die als Falle für den Massenschwerpunkt fungiert, oder auch
• den Impuls eines Photons berücksichtigen, das von den elektronischen Freiheitsgraden absorbiert wird ,

unter vielen möglichen Anwendungen.

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Ach ja, und außerdem: Nichts in meiner anfänglichen Vorgehensweise ist spezifisch für die Quantenmechanik, und diese Trennung der Variablen ist in im Wesentlichen identischer Form (dh Sie müssen nur die kanonischen Kommutatoren für eine identische Erhaltung der Poisson-Klammer austauschen) auch in der Klassik vorhanden Hamiltonsche Mechanik.

Durch die Impulserhaltung bleibt der Massenmittelpunkt des Atoms tatsächlich fest. Dies impliziert, dass es eine perfekte Korrelation zwischen den Wellenfunktionen gibt$\Psi$des Elektrons und$\Phi$des Protons:

$$\Phi(x)=\Psi(-(M/m)x),$$

wo$M$ist die Masse des Protons und$m$ist die Masse des Elektrons.

Die Wirkung auf die Energieniveaus besteht darin, die Masse des Elektrons durch die reduzierte Masse zu ersetzen.

Ich schreibe dies, um die korrekte Antwort von @BenCrowell und die meiner Meinung nach unvollständige Antwort von @EmilioPisanty zu ergänzen. Meiner Meinung nach, und es scheint auch die von Ben Crowell zu sein, zielte die Frage des OP eindeutig auf die QM -Wellenfunktionsbeschreibung des Protons im Wasserstoffmodell.

Der übliche Ansatz, den Effekt des Protons in das Wasserstoffproblem einzubeziehen, besteht darin, den Hamiltonoperator in den Hamiltonoperator für die Translationsbewegung des Massenschwerpunkts und den Hamiltonoperator für die relative Bewegung von Elektron und Proton zu entkoppeln, die den Abstand haben$\vec r=\vec r_\text{e} - \vec r_\text{p}$, was eine verallgemeinerte Koordinate ist. (Siehe Antwort von Emilio Pisanty.) Dieser Hamiltonoperator, der die Relativbewegung beschreibt, gilt für ein einzelnes fiktives Teilchen mit Elektronenladung mit reduzierter Masse$\mu=\left(1/m_\text{e}+1/m_\text{p}\right)^{-1}$im zentralen Coulomb-Potential$\frac {e}{4\pi \epsilon_0 |\vec r|}$mit Abstand$\vec r$vom Ursprung. Im Schwerpunktsystem ist dies der einzige Hamiltonoperator, der zur Beschreibung des Wasserstoffatoms erforderlich ist. Dafür lautet die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:

$$H\psi\left(\vec r\right)=\left(\frac {\vec p^2}{2\mu} - \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 |\vec r|}\right)\psi\left(\vec r\right)=E\psi\left(\vec r\right) \tag1$$ Durch Lösen dieser Schrödinger-Gleichung erhält man alle Energieeigenwerte des Wasserstoffatoms einschließlich des Bewegungseffekts des Protons. Allerdings muss man bedenken, dass die Wellenlösungen $\psi\left(\vec r\right)$(Eigenfunktionen) sind für dieses fiktive Teilchen reduzierter Masse $\mu$Beschreibung des kombinierten Proton-Elektron-Systems, nicht für das Elektron oder für das Proton selbst.

Daher stellt sich die Frage, ob und wie Elektron und Proton getrennt mit Wellenfunktionen beschrieben werden können, die zB ihre räumliche Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben. Ben Crowell hat dazu bereits eine richtige Kurzantwort ohne Herleitung gegeben. Ich versuche zu zeigen, wie dies aus den Wellenfunktionen gewonnen werden kann$\psi\left(\vec r\right)$des fiktiven Teilchensystems.

Im Bezugsrahmen des Massenmittelpunkts ist der Positionsvektor des Massenmittelpunkts nullnachgebend

$$m_\text{e}\vec r_\text{e}+m_\text{p}\vec r_\text{p}=0 \tag 2$$ und $$\vec r_\text{e}=-\frac {m_\text{p}}{m_\text{e}}\vec r_\text{p} \tag 3$$ Der Abstandsvektor $\vec r$kann durch den Positionsvektor des Elektrons oder des Protons ausgedrückt werden $$\vec r=\vec r_\text{e} -\vec r_\text{p}=\vec r_\text{e}\left(\frac {m_\text{e}+m_\text{p}}{m_\text{p}}\right)=-\vec r_\text{p}\left(\frac {m_\text{e}+m_\text{p}}{m_\text{e}}\right) \tag 4$$ Somit ist die Wellenlösung von Gl. (1) ergibt $$\psi \left(\vec r\right)=\psi\left(\vec r_\text{e}\frac {m_\text{e}+m_\text{p}}{m_\text{p}}\right)=\psi\left(-\vec r_\text{p}\left(\frac {m_\text{e}+m_\text{p}}{m_\text{e}}\right)\right)$$ Daher sind die Wellenfunktionen für das Elektron und für das Proton $\psi_\text{e}\left(\vec r_\text{e}\right)$und $\psi_\text{p}\left(\vec r_\text{p}\right)$, werden aus der Wellenfunktion erhalten $\psi\left(\vec r\right)$durch einfache Koordinatenskalierungen. Und die Wellenfunktion des Protons hängt mit der des Elektrons durch die Koordinatenskalierung zusammen [Gl. 2] $$\psi_\text{p}\left(\vec r_\text{p}\right) =\psi_\text{e}\left(-\vec r_\text{e} \frac {m_\text{e}}{m_\text{p}}\right) \tag 5$$

Dies zeigt, dass die Wellenfunktionen des Elektrons und des Protons aus der Wellenfunktion des reduzierten Massensystems abgeleitet werden können und dass sie perfekt korreliert und um den Massenmittelpunkt zentriert sind, wie Ben Crowell in seiner Antwort gezeigt hat. Die Protonenwellenfunktion ist einfach eine skalierte Version der Elektronenwellenfunktion. Das bedeutet zB, dass im s-Grundzustand des Atoms die maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Protons auf einer Kugelschale um den Schwerpunkt mit Radius liegt

$$r_\text{p}=\frac {m_\text{e}}{m_\text{p}} r_\text{e} \approx \frac {m_\text{e}}{m_\text{p}}r_{\text{Bohr}}\ \tag 6$$ was viel kleiner als der Bohr-Radius ist.

Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mich korrigieren oder erklären könnten, falls Sie in dieser ergänzenden Herleitung etwas falsch finden.