Berechnung des wahrscheinlichsten Radius für ein Elektron eines Wasserstoffatoms im Grundzustand

Dieser Link beschreibt eine Methode zur Bestimmung des wahrscheinlichsten Radius eines Elektrons für ein Wasserstoffatom im Grundzustand.

Es sagt, dass :

Die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte für den Wasserstoff-Grundzustand erhält man durch Multiplikation des Quadrats der Wellenfunktion mit einem Kugelschalen-Volumenelement.

Als ich dieses Problem selbst lösen wollte, multiplizierte ich das Quadrat der gegebenen Wellenfunktion mit dem Volumen einer Kugel, was mir die falsche Antwort gab, da ich weiß, dass es der Bohr-Radius sein sollte.

Als ich über dieses Problem nachdachte, schien es vernünftig, es mit dem Volumen einer Kugel zu multiplizieren, anstatt mit der Oberfläche einer Kugel (mein Bauchgefühl). Der Link erklärt mir nicht wirklich, warum er eine Oberfläche und kein Volumen einer Kugel verwendet, und ich hätte gerne etwas Hilfe dabei, eine Intuition dafür zu bekommen, warum die Oberfläche verwendet wird und die richtige Antwort und das Volumen einer Kugel gibt nicht.

Antworten (2)

Hinweis: Die Antwort von ChocoPouce ist die gleiche wie meine, aber mathematischer.

Sie haben eine (kugelsymmetrische) Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung ρ im Raum (den wir aus dem Quadrat der Amplitude erhalten). Die "radiale Wahrscheinlichkeitsdichte" ist ungefähr die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Elektron beispielsweise auf einem bestimmten Radius befindet R = 0,1 N M ? Mit anderen Worten, wie viel von dieser Verteilung ist drin? 0,1 N M Hülse? Wir werden nicht genau 0,1 N M , also nehmen wir eine dünne Schale: wie viel ist dazwischen 0,1 Und 0,1 + ε N M ? Menge = (durchschnittliche wahrscheinliche Dichte in der Schale) * (Volumen der Schale). Da die Schale so dünn ist ( ε sehr klein ist), ist die Dichte nahezu konstant und das Volumen der Schale ist gegeben durch A R e A × T H ich C k N e S S = 4 π ∗ ( 0,1 N M 2 ) ∗ ε N M .

Damit ist die Wahrscheinlichkeit 4 π ρ ( R ) R 2 ε , Wo ρ hängt nur davon ab R da es kugelsymmetrisch ist. Aber ε ist eine beliebige "kleine" Dicke, die wir definiert haben, und es ist am besten, durch zu teilen ε um die Wahrscheinlichkeit pro Einheitsradius zu erhalten, die als (radiale) Wahrscheinlichkeitsdichte bezeichnet wird 4 π ρ ( R ) R 2 . Der wahrscheinlichste Radius (der sich vom durchschnittlichen Radius unterscheidet) maximiert diese Funktion.

Ok, also verstehe ich einiges von dem, was Sie beide sagen, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte * das von zwei Kugeln eingeschlossene Volumen es mir ermöglicht, auf die Antwort zu kommen. Aber es macht für mich immer noch keinen intuitiven Sinn, dass das Volumen zwischen zwei Kugeln (Kugelschale) verwendet wird und nicht das Volumen einer Kugel vom Mittelpunkt bis zu einem beliebigen Abstand r. Ich kann mich daran erinnern, dies in Zukunft zu tun, aber wenn die Verteilung kugelsymmetrisch ist, warum nicht ein Volumenelement einer Kugel anstelle einer Kugelschale verwenden?
Wir verwenden Fläche, weil wir die Wahrscheinlichkeit wollen, dass r genau 0,1 nm ist (technisch Wahrscheinlichkeitsdichte), nicht die Wahrscheinlichkeit, dass r kleiner als 0,1 nm ist.

Die Verbindung verwendet ein kugelförmiges Schalenelement , das ist 4 π R 2 D R und hat die Dimension eines Volumens ( R 2 ist eine Fläche und D R ist eine Länge.

Die Wellenfunktion des Grundzustandes ist kugelförmig, sonst hätte die Berechnung mit einem kugelförmigen Volumenelement wie z R 2 D R D θ D φ . In der Berechnung wird kein Flächenelement verwendet. Um zu sehen, wie das Volumenelement der Kugelschale mit der Kugelsymmetrie zusammenhängt, können Sie Folgendes sehen:

∫ 0 R D R ∫ 0 π D θ ∫ 0 2 π D φ R 2 = 4 π ∫ 0 R R 2 D R

Das Volumenelement Kugelschale enthält bereits die Integration über Winkel.

Um diese Berechnung durchzuführen, muss man die Wellenfunktion mit einem Volumenelement multiplizieren und nicht mit dem Gesamtvolumen einer Kugel. Die Definition der Wellenfunktion besagt, dass es sich um eine Funktion handelt ψ ( R , T ) wie zum Beispiel | ψ ( R , T ) | 2 D v ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in einem Volumenelement zu finden D v um den mit bezeichneten Punkt R (in diesem Beispiel in sphärischen Koordinaten). Die Multiplikation der Wellenfunktion mit einem Volumen (um eine Wahrscheinlichkeitsamplitude zu erhalten) ist nur sinnvoll, wenn das Volumen klein ist.

Danke, aber ich bin immer noch verwirrt. Ich habe folgende Formel P ( R ) = ∫ 0 2 π ∫ 0 π | ψ ( R ) | 2 R 2 Sünde ⁡ θ D θ D φ = | ψ ( R ) | 2 4 π R 2 . Was ich für die Wahrscheinlichkeit hielt, das Elektron auf einem Radius r zu finden, und auch für die Oberfläche einer Kugel. Dann kann ich fortfahren, das Maximum durch Berechnung zu finden D P D R = 0 . Wenn ich akzeptiere, dass es sich stattdessen um ein Volumen eines Kugelschalenelements handelt (was ich jetzt glaube ich verstehe), verstehe ich immer noch nicht, warum ein Kugelschalenelement verwendet wird und nicht das Volumenelement einer Kugel selbst?
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